1. Em uma pirâmide quadrangular regular com 4 cm de altura, tendo o apótema da base igual a 3 cm , a área lateral é
    a) 60 \mathrm{~cm}^{2}
    b) 30 \mathrm{~cm}^{2}
    c) 120 \mathrm{~cm}^{2}
    d) 45 \mathrm{~cm}^{2}

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide quadrangular regular com as seguintes informações:
  • altura (distância do vértice ao centro da base): h=4\\ \mathrm{cm}.
  • apótema da base (distância do centro da base até o ponto médio de um lado da base): a_{\text{base}}=3\\ \mathrm{cm}.
    O que se pede: calcular a área lateral da pirâmide.

Passo 2

Entender o que é o apótema da base e como isso se relaciona com o lado da base num quadrado. O apótema da base a_{\text{base}} é a distância do centro do quadrado até o ponto médio de um lado. Para um quadrado isso é exatamente metade do comprimento do lado. Logo, se s é o lado do quadrado, vale a relação
s = 2\,a_{\text{base}}.

Passo 3

Usando a relação do passo anterior e o valor dado de a_{\text{base}}, calculamos o lado da base:
s = 2\cdot 3 = 6\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Calculamos o perímetro da base P, que para o quadrado é P=4s:
P = 4\cdot 6 = 24\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Explicar o que é a altura inclinada (slant height) da pirâmide — também chamada apótema lateral l: é a altura de cada face triangular (a distância do ponto médio de um lado até o vértice, medida ao longo da face). Existe um triângulo retângulo que liga o centro da base, o ponto médio de um lado e o vértice da pirâmide; os catetos são h e a_{\text{base}}, e a hipotenusa é l. Pela Pythagoras:
l = \sqrt{h^{2} + a_{\text{base}}^{2}}.
Substituindo h=4 e a_{\text{base}}=3:
l = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Fórmula da área lateral de uma pirâmide regular: a área lateral é a soma das áreas das quatro faces triangulares congruentes. Área de cada triângulo é \dfrac{s\cdot l}{2}. Somando as quatro:
A_{\text{lat}} = 4\cdot \frac{s\cdot l}{2} = \frac{(4s)\,l}{2} = \frac{P\cdot l}{2}.
Substituindo P=24\\ \mathrm{cm} e l=5\\ \mathrm{cm}:
A_{\text{lat}} = \frac{24\cdot 5}{2} = \frac{120}{2} = 60\\ \mathrm{cm}^{2}.

Resposta

\,60\\ \mathrm{cm}^{2}

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