1. Em uma pirâmide regular com 12 cm de altura, tendo como base um quadrado de lado 10 cm , a área lateral é
    a) 240 \mathrm{~cm}^{2}
    b) 260 \mathrm{~cm}^{2}
    c) 340 \mathrm{~cm}^{2}
    d) 400 \mathrm{~cm}^{2}

Passo 1

O enunciado pede a área lateral de uma pirâmide regular cuja base é um quadrado. Informações dadas: a altura da pirâmide é \,12\\ \text{cm}\, e o lado do quadrado da base é \,10\\ \text{cm}\,. As alternativas são:
a) \,240\\ \text{cm}^2\; b) \,260\\ \text{cm}^2\; c) \,340\\ \text{cm}^2\; d) \,400\\ \text{cm}^2.
O que precisamos calcular: a área lateral total (a soma das áreas das faces triangulares laterais).

Passo 2

Entendendo a geometria de uma pirâmide regular: em uma pirâmide regular com base quadrada as quatro faces laterais são quatro triângulos congruentes isósceles. Para achar a área lateral total podemos calcular a área de uma dessas faces e multiplicar por quatro. Cada face lateral tem como base o lado do quadrado e como “altura do triângulo” a chamada altura inclinada ou altura lateral (slant height), que vou chamar de \,l\,.

Passo 3

Definição e como obter a altura lateral \,l\,: a altura \,h\, da pirâmide (vertical) forma com a metade do lado da base um triângulo retângulo cujo cateto vertical é \,h\, e cujo outro cateto é a distância do centro da base até o ponto médio de um lado. Em uma base quadrada de lado \,a\,, essa distância é \,a/2. Vou justificar isso brevemente: o centro do quadrado está à mesma distância dos quatro pontos médios dos lados por simetria; tomando coordenadas com o centro na origem e lados paralelos aos eixos, um dos pontos médios tem coordenada (a/2,0), cuja distância até a origem é \,a/2.

Passo 4

Aplicando ao caso concreto: o lado do quadrado é \,a=10\\ \text{cm}\,, portanto a distância do centro ao ponto médio de um lado é
\frac{a}{2}=\frac{10}{2}=5\\ \text{cm}.

Passo 5

Agora uso o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pela altura da pirâmide, pela metade do lado da base e pela altura lateral \,l\,. O Teorema de Pitágoras diz que, para um triângulo retângulo com catetos \,x e \,y e hipotenusa \,z, vale
z^2 = x^2 + y^2.
No nosso caso \,x=h=12\\ \text{cm}\,, \,y=a/2=5\\ \text{cm}\, e \,z=l. Então
l^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169.
Logo
l = \sqrt{169} = 13\\ \text{cm}.

Passo 6

Área de uma face lateral (triângulo isósceles): a fórmula da área de um triângulo é
\text{área} = \frac{\text{base}\times\text{altura do triângulo}}{2}.áâ
Aqui a base é o lado do quadrado \,a=10\\ \text{cm}\, e a altura do triângulo é a altura lateral \,l=13\\ \text{cm}. Então a área de uma face é
\frac{10 \times 13}{2} = \frac{130}{2} = 65\\ \text{cm}^2.

Passo 7

Área lateral total: são quatro faces congruentes, então
\text{Área lateral total} = 4 \times 65 = 260\\ \text{cm}^2.Á
Observação rápida (método alternativo): a fórmula geral para área lateral de uma pirâmide é \,\dfrac{\text{perímetro da base} \times l}{2}\,í. Aqui o perímetro do quadrado é \,4a=40\\ \text{cm}\,, então \dfrac{40\times 13}{2}=260\\ \text{cm}^2, que dá o mesmo resultado.

Resposta

b) 260\\ \text{cm}^2

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