- A área lateral de uma pirâmide quadrangular regular é igual ao dobro da área de sua base. Se a aresta da base mede 3 cm , então o apótema da pirâmide mede
a) 3 cm
b) 6 cm
c) 9 cm
d) 12 cm
a) 3 cm
b) 6 cm
c) 9 cm
d) 12 cm
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só. Informações:
- A aresta da base (lado do quadrado) mede
. - A área lateral da pirâmide é igual ao dobro da área da base.
Pedido: - Calcular o apótema da pirâmide (isto é, a altura inclinada de cada face triangular, também chamada de altura lateral ou “slant height”).
Passo 2
Entendendo o que é “apótema” e como relacioná-lo com áreas (aulas rápidas, tipo papo de amigo).
- A base é um quadrado de lado
. Aqui . - Cada face lateral é um triângulo isósceles cuja base é
e cuja altura é o apótema da pirâmide, que chamaremos de . A área de um triângulo é dada por
No nosso caso, para uma face triangular:
- A área lateral total da pirâmide é a soma das áreas das quatro faces. Como são quatro faces iguais,
- Outra forma compacta, muito usada, é lembrar que a área lateral de uma pirâmide regular é
onde
é o perímetro da base e
é o apótema. Essas duas fórmulas são equivalentes (vai dar o mesmo quando
).
Passo 3
Calcule a área da base e a área lateral dada pelo enunciado.
- Área da base (quadrado de lado
):
- Como a área lateral é o dobro da área da base:
Passo 4
Escrevendo a área lateral em função do apótema
.
- Perímetro da base:
- Usando a fórmula
obtemos
- Simplificando:
(Se preferir ver pela soma das faces:
, mesma coisa.)
Passo 5
Igualando a expressão em função de
ao valor numérico encontrado e resolvendo.
- Sabemos que
, então
- Isolando
:
Passo 6
Verificação rápida e conclusão (para ficar seguro na prova):
- Com
, a área lateral seria , exatamente o dobro da base ( ). Tudo bate.