1. A área lateral de uma pirâmide quadrangular regular é igual ao dobro da área de sua base. Se a aresta da base mede 3 cm , então o apótema da pirâmide mede
    a) 3 cm
    b) 6 cm
    c) 9 cm
    d) 12 cm

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só. Informações:
  • A aresta da base (lado do quadrado) mede 3\\ \mathrm{cm}.
  • A área lateral da pirâmide é igual ao dobro da área da base.
    Pedido:
  • Calcular o apótema da pirâmide (isto é, a altura inclinada de cada face triangular, também chamada de altura lateral ou “slant height”).

Passo 2

Entendendo o que é “apótema” e como relacioná-lo com áreas (aulas rápidas, tipo papo de amigo).
  • A base é um quadrado de lado s. Aqui s = 3\\ \mathrm{cm}.
  • Cada face lateral é um triângulo isósceles cuja base é s e cuja altura é o apótema da pirâmide, que chamaremos de a. A área de um triângulo é dada por
\text{área do triângulo} = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2}.áâ
No nosso caso, para uma face triangular:
\text{área de uma face} = \frac{s\cdot a}{2}.á
  • A área lateral total da pirâmide é a soma das áreas das quatro faces. Como são quatro faces iguais,
A_{\text{lat}} = 4\cdot\frac{s\cdot a}{2}.
  • Outra forma compacta, muito usada, é lembrar que a área lateral de uma pirâmide regular é
A_{\text{lat}}=\frac{P\cdot a}{2},
onde P é o perímetro da base e a é o apótema. Essas duas fórmulas são equivalentes (vai dar o mesmo quando P=4s).

Passo 3

Calcule a área da base e a área lateral dada pelo enunciado.
  • Área da base (quadrado de lado s):
A_{\text{base}} = s^2 = 3^2 = 9\\ \mathrm{cm}^2.
  • Como a área lateral é o dobro da área da base:
A_{\text{lat}} = 2\cdot A_{\text{base}} = 2\cdot 9 = 18\\ \mathrm{cm}^2.

Passo 4

Escrevendo a área lateral em função do apótema a.
  • Perímetro da base:
P = 4s = 4\cdot 3 = 12\\ \mathrm{cm}.
  • Usando a fórmula \displaystyle A_{\text{lat}}=\frac{P\cdot a}{2} obtemos
A_{\text{lat}}=\frac{12\cdot a}{2}.
  • Simplificando:
A_{\text{lat}} = 6a.
(Se preferir ver pela soma das faces: 4\cdot\frac{s a}{2}=4\cdot\frac{3a}{2}=6a, mesma coisa.)

Passo 5

Igualando a expressão em função de a ao valor numérico encontrado e resolvendo.
  • Sabemos que A_{\text{lat}}=18\\ \mathrm{cm}^2, então
6a = 18.
  • Isolando a:
a = \frac{18}{6} = 3\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Verificação rápida e conclusão (para ficar seguro na prova):
  • Com a=3\\ \mathrm{cm}, a área lateral seria 6a=6\cdot 3=18\\ \mathrm{cm}^2, exatamente o dobro da base ( 2\cdot 9). Tudo bate.

Resposta

3\\ \mathrm{cm}

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