- Uma pirâmide quadrangular regular tem 8 m de altura e 10 m de apótema. O seu volume é
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pergunta qual é o volume de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo que a altura mede
e o apótema mede
.\n
Informações dadas:
(altura da pirâmide).\n
(apótema ou altura lateral — também chamado de “slant height”, distância do vértice até o ponto médio de um lado da base).\n
A base é quadrada (pirâmide quadrangular regular), então o lado da base que vou chamar de é o mesmo para todos os lados.
Informações dadas:
A base é quadrada (pirâmide quadrangular regular), então o lado da base que vou chamar de
Passo 2
Entendendo a relação entre apótema, altura e metade do lado da base: na pirâmide regular a seção vertical que passa pelo centro e por um lado da base forma um triângulo retângulo cujos vértices são (1) o vértice da pirâmide, (2) o ponto médio do lado da base e (3) o centro da base. Nesse triângulo retângulo a hipotenusa é o apótema
, um cateto é a altura
e o outro cateto é metade do lado da base
.\n
Pelo Teorema de Pitágoras, para esse triângulo vale:
Pelo Teorema de Pitágoras, para esse triângulo vale:
Aqui:
é o apótema (
),
é a altura (
), e
é o comprimento do lado da base que queremos encontrar.
Passo 3
Substituindo os valores conhecidos na fórmula de Pitágoras:
Calculando os quadrados:
Isolando
:
Tirando a raiz quadrada (tomando a raíz positiva porque é comprimento):
Portanto
Comentário didático rápido: esse triângulo é um
, múltiplo do clássico
, então faz sentido numericamente.
Passo 4
Área da base: como a base é um quadrado de lado
, a área da base
é
Substituindo
:
Explicação: área do quadrado é lado vezes lado; simples e direto.
Passo 5
Fórmula do volume da pirâmide: o volume
de qualquer pirâmide é um terço do produto da área da base pela altura:
Racionalização curta: uma pirâmide tem volume igual a um terço do prisma com a mesma base e mesma altura (é um resultado clássico que você pode aceitar ou ver em demonstrações geométricas).
Passo 6
Agora substituímos os valores:
Fazendo as contas passo a passo:
Logo o volume é
, que corresponde à alternativa (d).
Resposta
d)