1. Uma pirâmide quadrangular regular tem 8 m de altura e 10 m de apótema. O seu volume é
    a) 1152 m^{3}
    b) 288 \mathrm{~m}^{3}
    c) 96 m^{3}
    d) 384 \mathrm{~m}^{3}

Passo 1

O enunciado pergunta qual é o volume de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo que a altura mede 8\\ \mathrm{m} e o apótema mede 10\\ \mathrm{m}.\n
Informações dadas:
\;h=8\\ \mathrm{m} (altura da pirâmide).\n
\;\ell=10\\ \mathrm{m} (apótema ou altura lateral — também chamado de “slant height”, distância do vértice até o ponto médio de um lado da base).\n
A base é quadrada (pirâmide quadrangular regular), então o lado da base que vou chamar de s é o mesmo para todos os lados.

Passo 2

Entendendo a relação entre apótema, altura e metade do lado da base: na pirâmide regular a seção vertical que passa pelo centro e por um lado da base forma um triângulo retângulo cujos vértices são (1) o vértice da pirâmide, (2) o ponto médio do lado da base e (3) o centro da base. Nesse triângulo retângulo a hipotenusa é o apótema \ell, um cateto é a altura h e o outro cateto é metade do lado da base \dfrac{s}{2}.\n
Pelo Teorema de Pitágoras, para esse triângulo vale:
\ell^{2} = h^{2} + \left(\frac{s}{2}\right)^{2}.
Aqui:
\ell é o apótema ( 10\\ \mathrm{m}), \;h é a altura ( 8\\ \mathrm{m}), e \;s é o comprimento do lado da base que queremos encontrar.

Passo 3

Substituindo os valores conhecidos na fórmula de Pitágoras:
10^{2} = 8^{2} + \left(\frac{s}{2}\right)^{2}.
Calculando os quadrados:
100 = 64 + \left(\frac{s}{2}\right)^{2}.
Isolando \left(\dfrac{s}{2}\right)^{2}:
\left(\frac{s}{2}\right)^{2} = 100 - 64 = 36.
Tirando a raiz quadrada (tomando a raíz positiva porque é comprimento):
\frac{s}{2} = \sqrt{36} = 6.
Portanto
s = 2\cdot 6 = 12\\ \mathrm{m}.
Comentário didático rápido: esse triângulo é um 6\!-\!8\!-\!10, múltiplo do clássico 3\!-\!4\!-\!5, então faz sentido numericamente.

Passo 4

Área da base: como a base é um quadrado de lado s, a área da base A_{\text{base}} é
A_{\text{base}} = s^{2}.
Substituindo s=12\\ \mathrm{m}:
A_{\text{base}} = 12^{2} = 144\\ \mathrm{m}^{2}.
Explicação: área do quadrado é lado vezes lado; simples e direto.

Passo 5

Fórmula do volume da pirâmide: o volume V de qualquer pirâmide é um terço do produto da área da base pela altura:
V = \frac{1}{3} \, A_{\text{base}} \, h.
Racionalização curta: uma pirâmide tem volume igual a um terço do prisma com a mesma base e mesma altura (é um resultado clássico que você pode aceitar ou ver em demonstrações geométricas).

Passo 6

Agora substituímos os valores:
V = \frac{1}{3}\cdot 144\cdot 8.
Fazendo as contas passo a passo:
\frac{144}{3} = 48,
48\cdot 8 = 384.
Logo o volume é 384\\ \mathrm{m}^{3}, que corresponde à alternativa (d).

Resposta

d) 384\\ \mathrm{m}^{3}

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