1. O raio do círculo circunscrito à base de uma pirâmide quadrangular regular é 2 \sqrt{2}. Se a altura da pirâmide é 2 , seu volume é
    a) 32 / 3
    b) 16 / 3
    c) 8 / 3
    d) 4 / 3

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede o que está indicado:
  • Raio do círculo circunscrito à base da pirâmide: 2\sqrt{2}.
  • Altura da pirâmide: 2.
  • Pergunta: calcular o volume da pirâmide quadrangular regular.

Passo 2

Entendendo a base: a pirâmide é quadrangular regular, ou seja, a base é um quadrado de lado que vou chamar de s (toda variável estará em TeX). O círculo circunscrito à base é o círculo que passa pelos quatro vértices do quadrado; o raio desse círculo é o semidiagonal do quadrado. Para achar a relação entre o raio R e o lado s usamos a fórmula da diagonal do quadrado.
A diagonal d de um quadrado de lado s vem do Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo formado por dois lados do quadrado:
d = \sqrt{s^2 + s^2} = s\sqrt{2}.
O raio do círculo circunscrito é metade da diagonal, portanto
R = \frac{d}{2} = \frac{s\sqrt{2}}{2}.

Passo 3

Agora isolamos s na relação entre R e s. A partir de
R = \frac{s\sqrt{2}}{2},
multiplicamos ambos os lados por 2 e dividimos por \sqrt{2}:
s = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}.
Substituindo o valor dado do raio R = 2\sqrt{2}:
s = (2\sqrt{2})\sqrt{2}.
Calculando \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2, logo
s = 2\cdot 2 = 4.
Portanto o lado do quadrado da base é 4.

Passo 4

Área da base: sendo a base um quadrado de lado s, a área da base A_b é
A_b = s^2.
Substituindo s=4:
A_b = 4^2 = 16.

Passo 5

Fórmula do volume da pirâmide: para qualquer pirâmide (base de área A_b e altura h) o volume V é dado por
V = \frac{1}{3} A_b h.
Aqui A_b é a área da base e h é a altura perpendicular da pirâmide.

Passo 6

Substituindo A_b = 16 e h = 2 na fórmula do volume:
V = \frac{1}{3}\cdot 16 \cdot 2.
Calcule passo a passo: 16\cdot 2 = 32, então
V = \frac{32}{3}.

Passo 7

Comparando com as alternativas, o valor corresponde à alternativa (a).

Resposta

a) \dfrac{32}{3}

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