Um tronco de pirâmide tem por volume 98 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{3} e por bases dois triângulos equiláteros de 10 cm e 6 cm de lado, respectivamente. Determine a altura do tronco.

Passo 1

O enunciado dá o volume de um tronco de pirâmide de bases paralelas formadas por dois triângulos equiláteros de lados 10 cm e 6 cm, valendo esse volume 98\sqrt{3} c m^{3}. O conteúdo é o volume de tronco de pirâmide e vamos precisar da fórmula
V = \frac{h}{3}\,\bigl(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1A_2}\bigr)
e da área do triângulo equilátero ( A = \tfrac{\sqrt{3}}{4}a^2).

Passo 2

Calcular a área da base maior ( A_1, lado 10) e da base menor ( A_2, lado 6):
A_1 = \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot10^2 = 25\sqrt{3}, \qquad A_2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot6^2 = 9\sqrt{3}.

Passo 3

Substituir na fórmula do volume:
V = \frac{h}{3}\,\bigl(25\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + \sqrt{25\sqrt{3}\,\cdot\,9\sqrt{3}}\bigr) = \frac{h}{3}\,\bigl(34\sqrt{3} + 15\sqrt{3}\bigr) = \frac{49\sqrt{3}\,h}{3}.

Passo 4

Igualar ao volume dado e isolar h:
\frac{49\sqrt{3}\,h}{3} = 98\sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad 49h = 98\cdot3 \quad\Longrightarrow\quad h = 6.

Resposta

A altura do tronco é 6\text{ cm}.

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