Um rolamento de contato angular
suporta um eixo que gira a 1000 rpm . Uma carga radial varia de modo que em 50, 30 e
do
tempo a carga é de 3,5 e 7 kN , respectivamente. Estime a vida
e a vida média do rolamento.
tempo a carga é de 3,5 e 7 kN , respectivamente. Estime a vida
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo direitinho):
- Tipo de rolamento: rolamento de contato angular n.º
(não foi fornecido o valor de , a carga dinâmica nominal do rolamento). - Velocidade do eixo:
. - Variação da carga radial em três níveis com os respectivos tempos:
-
do tempo com carga . -
do tempo com carga . -
do tempo com carga .
-
- O que se pede:
- Estimar a vida
(vida na qual dos rolamentos falham, ou seja, sobrevivem). - Estimar a vida média do rolamento.
- Estimar a vida
Observação importante: o enunciado NÃO fornece o valor de
(carga dinâmica nominal) do rolamento n.º
, que é essencial para calcular a vida numérica. Portanto vou:
- Explicar completamente o método passo a passo e dar a fórmula final em função de
. - Calcular o carregamento equivalente numérico
(isso pode ser feito sem conhecer ). - Mostrar como obter
em horas como expressão envolvendo . - Fornecer um exemplo numérico ilustrativo assumindo um valor plausível de
(ficará explícito que é uma suposição; a resposta final verdadeira exige o do catálogo).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarinho):
- Definição de
: é a vida para a qual dos rolamentos falham. Em engenharia de rolamentos usa-se a fórmula básica baseada na lei de Palmgren–Miner (vida característica) para cargas constantes: onde: -
é a carga dinâmica equivalente do rolamento (unidades: mesma unidade de , por ex. ); -
é a carga equivalente aplicada ao rolamento (idem); -
é o expoente dependente do tipo de elemento rolante: para rolamentos com esferas (ball bearings) tem-se . Para rolos cilíndricos/rolamentos de rolos . Um rolamento de contato angular usa esferas, logo usamos .
-
- Converter para horas: se
está em milhões de revoluções, então a vida em horas é onde é a velocidade em .
Substituindo a fórmula acima:Pode-se simplificar o fator numérico para depois. - Carga equivalente para cargas variáveis por tempo: quando a carga varia em tempos/fracionamentos, usa-se a regra de energia (ou regra de Palmgren) para cargas discretas:
onde é a fração do tempo (por exemplo para ) em que a carga é , e é o mesmo expoente de vida ( aqui). Esse substitui na fórmula de vida. - Vida média: o termo “vida média” pode referir-se à esperança matemática da distribuição de vida. As vidas de rolamentos tipicamente seguem uma distribuição Weibull; se usarmos o parâmetro de forma
(ou ), há a relação: e onde é o parâmetro de escala. Eliminando obtém-se a relação entre vida média e : Isso mostra que é necessário assumir um valor para . Na prática técnica é comum assumir como valor típico para conjuntos de dados de rolamentos (não é universal, mas é uma suposição aceita para estimativas). Para o fator acima vale aproximadamente (vou calcular explicitamente no final). Logo a vida média ≈ . Vou explicitar essa suposição ao usar esse fator.
Passo 3
Calcular a carga equivalente
com os dados fornecidos. Usamos
e as frações de tempo
e cargas
.
Aplicando a fórmula:
Vamos calcular cada termo (mostrando passo a passo):
Somando:
Agora a raiz cúbica:
Portanto a carga equivalente que entra na fórmula da vida é
.
Passo 4
Expressão geral para
(vida
em horas) usando
e
. Substituindo na fórmula:
Com
o fator numérico é
Logo:
Substituindo o valor numérico de
:
onde
e
estão em
.
Observação: para obter um número final é indispensável conhecer
(valor do catálogo para o rolamento n.º
). Sem o
dado não é possível entregar um único número certo para
. A expressão acima é a resposta exata em função de
.
Passo 5
Estimativa da vida média usando suposição prática sobre a distribuição:
- Supondo distribuição Weibull com parâmetro de forma
(valor comumente usado para estimativas de rolamentos), calculamos o fator que relaciona vida média a :
Para
:
Portanto o fator é aproximadamente
Logo:
Isto nos permite transformar a expressão anterior para vida média:
Passo 6
Exemplo numérico ilustrativo (SUPOSIÇÃO explícita do valor de
):
- Como o enunciado não deu
, para ilustrar a aplicação vou supor um valor plausível de catálogo para um rolamento pequeno do tipo 207. Suponhamos, apenas como exemplo numérico, . (AVISO: este valor é hipotético; usar o valor real do catálogo do fabricante para resposta final.) - Calculemos
e a vida média com essa suposição.
Primeiro:
Portanto
Vida média com o fator
:
Repare que se o valor real de
for diferente, esses números mudam bastante — por exemplo, se
obter-se-ia
(ou seja, maior).
Resposta
(Exemplo numérico ilustrativo: se
e vida média
.)