Um rolamento de contato angular \mathrm{n}^{\circ} 207 suporta um eixo que gira a 1000 rpm . Uma carga radial varia de modo que em 50, 30 e 20 \% do
tempo a carga é de 3,5 e 7 kN , respectivamente. Estime a vida \mathrm{B}_{10} e a vida média do rolamento.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo direitinho):
  • Tipo de rolamento: rolamento de contato angular n.º 207 (não foi fornecido o valor de C, a carga dinâmica nominal do rolamento).
  • Velocidade do eixo: 1000\\ \mathrm{rpm}.
  • Variação da carga radial em três níveis com os respectivos tempos:
    • 50\% do tempo com carga P_1 = 3\\ \mathrm{kN}.
    • 30\% do tempo com carga P_2 = 5\\ \mathrm{kN}.
    • 20\% do tempo com carga P_3 = 7\\ \mathrm{kN}.
  • O que se pede:
    1. Estimar a vida B_{10} (vida na qual 10\% dos rolamentos falham, ou seja, 90\% sobrevivem).
    2. Estimar a vida média do rolamento.
Observação importante: o enunciado NÃO fornece o valor de C (carga dinâmica nominal) do rolamento n.º 207, que é essencial para calcular a vida numérica. Portanto vou:
  • Explicar completamente o método passo a passo e dar a fórmula final em função de C.
  • Calcular o carregamento equivalente numérico P_e (isso pode ser feito sem conhecer C).
  • Mostrar como obter B_{10} em horas como expressão envolvendo C.
  • Fornecer um exemplo numérico ilustrativo assumindo um valor plausível de C (ficará explícito que é uma suposição; a resposta final verdadeira exige o C do catálogo).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarinho):
  • Definição de B_{10}: é a vida para a qual 10\% dos rolamentos falham. Em engenharia de rolamentos usa-se a fórmula básica baseada na lei de Palmgren–Miner (vida característica) para cargas constantes: L_{10}\\ (\text{em milhões de revoluções}) = \left(\dfrac{C}{P}\right)^p,õçõonde:
    • C é a carga dinâmica equivalente do rolamento (unidades: mesma unidade de P, por ex. \mathrm{kN});
    • P é a carga equivalente aplicada ao rolamento (idem);
    • p é o expoente dependente do tipo de elemento rolante: para rolamentos com esferas (ball bearings) tem-se p=3. Para rolos cilíndricos/rolamentos de rolos p=10/3. Um rolamento de contato angular usa esferas, logo usamos p=3.
  • Converter para horas: se L_{10} está em milhões de revoluções, então a vida em horas é L_{10}(\text{h})=\dfrac{10^{6}\cdot L_{10}\\ (\text{milhões de rev})}{60\cdot n},õonde n é a velocidade em \mathrm{rpm}.
    Substituindo a fórmula acima: L_{10}(\text{h})=\dfrac{10^{6}}{60\cdot n}\left(\dfrac{C}{P}\right)^p.Pode-se simplificar o fator numérico para n=1000\\ \mathrm{rpm} depois.
  • Carga equivalente para cargas variáveis por tempo: quando a carga varia em tempos/fracionamentos, usa-se a regra de energia (ou regra de Palmgren) para cargas discretas: P_e = \left(\sum_{i} a_i\, P_i^p \right)^{1/p},onde a_i é a fração do tempo (por exemplo 0,5 para 50\%) em que a carga é P_i, e p é o mesmo expoente de vida ( p=3 aqui). Esse P_e substitui P na fórmula de vida.
  • Vida média: o termo “vida média” pode referir-se à esperança matemática da distribuição de vida. As vidas de rolamentos tipicamente seguem uma distribuição Weibull; se usarmos o parâmetro de forma \beta (ou m), há a relação: \text{vida média}=\eta\,\Gamma\!\left(1+\dfrac{1}{\beta}\right),ée L_{10}=\eta\bigl(-\ln 0,1\bigr)^{1/\beta},onde \eta é o parâmetro de escala. Eliminando \eta obtém-se a relação entre vida média e L_{10}: \text{vida média} = L_{10}\cdot \dfrac{\Gamma\!\left(1+\dfrac{1}{\beta}\right)}{\bigl(-\ln 0,1\bigr)^{1/\beta}}.éIsso mostra que é necessário assumir um valor para \beta. Na prática técnica é comum assumir \beta\approx 1{,}5 como valor típico para conjuntos de dados de rolamentos (não é universal, mas é uma suposição aceita para estimativas). Para \beta=1{,}5 o fator acima vale aproximadamente 0,529 (vou calcular explicitamente no final). Logo a vida média ≈ 0,529\cdot L_{10}. Vou explicitar essa suposição ao usar esse fator.

Passo 3

Calcular a carga equivalente P_e com os dados fornecidos. Usamos p=3 e as frações de tempo a_1=0,5,\\ a_2=0,3,\\ a_3=0,2 e cargas P_1=3\\ \mathrm{kN},\\ P_2=5\\ \mathrm{kN},\\ P_3=7\\ \mathrm{kN}.
Aplicando a fórmula:
P_e=\left(0,5\cdot 3^3 + 0,3\cdot 5^3 + 0,2\cdot 7^3\right)^{1/3}.
Vamos calcular cada termo (mostrando passo a passo):
3^3=27,\qquad 0,5\cdot 27 = 13{,}5,
5^3=125,\qquad 0,3\cdot 125 = 37{,}5,
7^3=343,\qquad 0,2\cdot 343 = 68{,}6.
Somando:
13{,}5 + 37{,}5 + 68{,}6 = 119{,}6.
Agora a raiz cúbica:
P_e = 119{,}6^{1/3}\approx 4{,}93\\ \mathrm{kN}.
Portanto a carga equivalente que entra na fórmula da vida é P_e\approx 4{,}93\\ \mathrm{kN}.

Passo 4

Expressão geral para B_{10} (vida L_{10} em horas) usando P_e e p=3. Substituindo na fórmula:
L_{10}(\text{h})=\dfrac{10^{6}}{60\cdot n}\left(\dfrac{C}{P_e}\right)^{3}.
Com n=1000\\ \mathrm{rpm} o fator numérico é
\dfrac{10^{6}}{60\cdot 1000}=\dfrac{10^{6}}{60\,000}=16{,}666\ldots
Logo:
L_{10}(\text{h})=16{,}666\ldots\\ \left(\dfrac{C}{P_e}\right)^{3}.
Substituindo o valor numérico de P_e:
L_{10}(\text{h}) \approx 16{,}6667\left(\dfrac{C}{4{,}93}\right)^{3},
onde C e P_e estão em \mathrm{kN}.
Observação: para obter um número final é indispensável conhecer C (valor do catálogo para o rolamento n.º 207). Sem o C dado não é possível entregar um único número certo para B_{10}. A expressão acima é a resposta exata em função de C.

Passo 5

Estimativa da vida média usando suposição prática sobre a distribuição:
  • Supondo distribuição Weibull com parâmetro de forma \beta=1{,}5 (valor comumente usado para estimativas de rolamentos), calculamos o fator que relaciona vida média a L_{10}: \text{vida média} = L_{10}\cdot \dfrac{\Gamma\!\left(1+\dfrac{1}{\beta}\right)}{\bigl(-\ln 0,1\bigr)^{1/\beta}}.é
Para \beta=1{,}5:
-\ln 0,1 = \ln(10) \approx 2{,}302585,
\bigl(-\ln 0,1\bigr)^{1/\beta} = 2{,}302585^{1/1{,}5} = 2{,}302585^{0{,}666\ldots}\approx 1{,}744,
\Gamma\!\left(1+\dfrac{1}{\beta}\right)=\Gamma\!\left(1+\dfrac{1}{1{,}5}\right)=\Gamma\!\left(1+\tfrac{2}{3}\right)=\Gamma\!\left(\tfrac{5}{3}\right)\approx 0{,}9221.
Portanto o fator é aproximadamente
\dfrac{0{,}9221}{1{,}744}\approx 0{,}529.
Logo:
\text{vida média}\approx 0{,}529\cdot L_{10}.é
Isto nos permite transformar a expressão anterior para vida média:
\text{vida média (h)} \approx 0{,}529\cdot 16{,}6667\left(\dfrac{C}{4{,}93}\right)^{3}\approx 8{,}83\left(\dfrac{C}{4{,}93}\right)^{3}.é

Passo 6

Exemplo numérico ilustrativo (SUPOSIÇÃO explícita do valor de C):
  • Como o enunciado não deu C, para ilustrar a aplicação vou supor um valor plausível de catálogo para um rolamento pequeno do tipo 207. Suponhamos, apenas como exemplo numérico, C=12\\ \mathrm{kN}. (AVISO: este valor é hipotético; usar o valor real do catálogo do fabricante para resposta final.)
  • Calculemos L_{10} e a vida média com essa suposição.
Primeiro:
\left(\dfrac{C}{P_e}\right)^3=\left(\dfrac{12}{4{,}93}\right)^3\approx 2{,}433^3\approx 14{,}445.
Portanto
L_{10}(\text{h})\approx 16{,}6667\cdot 14{,}445\approx 240{,}8\\ \text{h}\approx 241\\ \text{h}.
Vida média com o fator 0{,}529:
\text{vida média}\approx 0{,}529\cdot 240{,}8\approx 127{,}3\\ \text{h}\approx 127\\ \text{h}.é
Repare que se o valor real de C for diferente, esses números mudam bastante — por exemplo, se C=20\\ \mathrm{kN} obter-se-ia L_{10}\approx 1{,}115\cdot 10^{3}\\ \text{h} (ou seja, maior).

Resposta

B_{10}(\text{h}) \;=\; 16{,}6667\left(\dfrac{C}{4{,}93}\right)^{3}\\ \text{h}
\text{Vida média (h)} \;=\; 8{,}83\left(\dfrac{C}{4{,}93}\right)^{3}\\ \text{h} \quad(\text{assumindo Weibull com }\beta=1{,}5)é
(Exemplo numérico ilustrativo: se C=12\\ \mathrm{kN}\Rightarrow B_{10}\approx 241\\ \text{h} e vida média \approx 127\\ \text{h}.)

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