Uma placa de aço possui uma trinca interna de 4 mm de comprimento. Se a tenacidade à fratura em deformação plana ( \mathrm{K}_{\mathrm{I}} ) desse aço é 50 \mathrm{MPa} \sqrt{m}, calcule a tensão máxima que pode ser aplicada sem que ocorra a fratura catastrófica. Assuma o parâmetro geométrico \mathrm{Y}=1,0.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Comprimento da trinca: \,4\\ \mathrm{mm}\,.
    • Tenacidade à fratura em modo I: \,K_I = 50\\ \mathrm{MPa}\sqrt{m}\,.
    • Parâmetro geométrico: \,Y = 1{,}0\,.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a tensão máxima \sigma_{\max} que pode ser aplicada sem ocorrer fratura catastrófica.
  • Observação/pressuposto importante (convencional em mecânica da fratura):
    • Quando se fala em “trinca interna de 4\\ \mathrm{mm} de comprimento” e se usa a fórmula padrão, normalmente a notação usa a como meio-comprimento da trinca (isto é, para uma trinca central de comprimento total 2a). Vou adotar essa convenção: comprimento total 2a = 4\\ \mathrm{mm}, portanto a = 2\\ \mathrm{mm} = 0{,}002\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Apresentar a fórmula fundamental e explicar variáveis e unidades.
  • Fórmula que relaciona tenacidade à fratura, tensão aplicada e tamanho da trinca:
    K_I = Y\,\sigma\,\sqrt{\pi a}.
    Onde:
    • \,K_I\, é a tenacidade à fratura em modo I (unidade típica \mathrm{MPa}\sqrt{m});
    • \,Y\, é um fator adimensional que depende da geometria da peça e da trinca;
    • \,\sigma\, é a tensão aplicada (em \mathrm{MPa} se quisermos manter consistência com K_I);
    • \,a\, é o semi-comprimento da trinca (em \mathrm{m});
    • \sqrt{\pi a} tem unidade \mathrm{m}^{1/2}, de modo que K_I tem unidade \mathrm{MPa}\sqrt{m} quando \sigma está em \mathrm{MPa}.
  • Vamos isolar \sigma para obter a tensão crítica:
    \sigma = \frac{K_I}{Y\,\sqrt{\pi a}}.

Passo 3

Converter unidades e calcular \sqrt{\pi a}.
  • Usando a = 0{,}002\\ \mathrm{m}: \pi a = \pi\cdot 0{,}002 \approx 0{,}006283\ldots
\sqrt{\pi a} = \sqrt{0{,}006283\ldots} \approx 0{,}079298\\ \mathrm{m}^{1/2}.

Passo 4

Substituir na fórmula e calcular \sigma_{\max}.
  • Substituindo K_I = 50\\ \mathrm{MPa}\sqrt{m}, Y=1{,}0 e \sqrt{\pi a}\approx 0{,}079298\\ \mathrm{m}^{1/2}:
    \sigma_{\max} = \frac{50}{1{,}0\cdot 0{,}079298}\\ \mathrm{MPa} \approx 630{,}8\\ \mathrm{MPa}.
  • Interpretação rápida (didática e prática):
    • O resultado indica a tensão de pico que, teoricamente, leva o parâmetro de intensidade de tensão até a tenacidade do material; acima disso a fratura por instabilidade é esperada.
    • Em projeto real utiliza-se fator de segurança e considerações de tenacidade com defeitos, carregamentos ciclicamente variáveis, etc., de modo que a tensão de projeto será bem menor que esse valor teórico.

Resposta

\sigma_{\max} \approx 630{,}8\\ \mathrm{MPa}

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