Uma placa de aluminio [ \left.\mathrm{k}=160 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}\right), \rho=2800 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{Cp}=0,9 \mathrm{KJ} /\left(\mathrm{kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)\right], com 2 cm de farece espessura e uma temperatura inicial uniforme e igual a 200^{\circ} \mathrm{C}, é repentinamente imersa em um ep. 4.3 fluido agitado mantido a uma temperatura constante de 20^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente de transferencia de calor por conveccão é entre a placa e o fluido é igual a 320 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}\right).
a) Um modelo de parametros concentrados, no qual assume-se que a temperatura é uniforme no interior da placa pode ser utilizado? Justifique a resposta.
b) Qual a temperatura no centro da placa, 20 segundos apos iniciado o processo?
c) Determine o tempo necessário para a temperatura no centro atingir 40^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado trata de um processo transiente de resfriamento de uma placa de alumínio de espessura L=0,02\;\mathrm{m}, inicialmente a 200^\circ\mathrm{C}, imersa num fluido agitado a 20^\circ\mathrm{C}. Os dados são
k=160\;\mathrm{W/(m\cdot{}^\circ C)},\quad \rho=2800\;\mathrm{kg/m^3},\quad c_p=0{,}9\;\mathrm{kJ/(kg\cdot{}^\circ C)},\quad h=320\;\mathrm{W/(m^2\cdot{}^\circ C)}.
Pede-se:
a) verificar se o modelo de parâmetro concentrado (temperatura uniforme) é válido;
b) encontrar a temperatura no centro após t=20\;\mathrm{s};
c) determinar o tempo para o centro atingir 40^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Usamos o número de Biot para checar a validade do modelo lumped capacitance:
\mathrm{Bi}=\frac{h\,L_c}{k},
onde, para uma placa, toma-se
L_c=\frac{L}{2}=0{,}01\;\mathrm{m}.
Logo
\mathrm{Bi}=\frac{320\times0{,}01}{160}=0{,}02.
Como \mathrm{Bi}<0{,}1, a resistência interna à condução é desprezível em relação à convecção, e o modelo de parâmetro concentrado é válido.

Passo 3

No modelo lumped capacitance assume-se T(t) uniforme e aplica-se balanço de energia:
m\,c_p\,\frac{dT}{dt}=-h\,A_s\bigl[T(t)-T_\infty\bigr],
com m=\rho\,V=\rho\,A\,L e A_s=2A (duas faces da placa). Simplificando a área A:
\frac{dT}{dt}=-\frac{2h}{\rho\,L\,c_p}\bigl[T(t)-T_\infty\bigr].
A solução é
T(t)=T_\infty+(T_i-T_\infty)\exp\Bigl(-\frac{2h}{\rho\,L\,c_p}\,t\Bigr).

Passo 4

Calcula-se T(20\,\mathrm{s}). Primeiro converte c_p:
c_p=0{,}9\;\mathrm{kJ/(kg\cdot{}^\circ C)}=900\;\mathrm{J/(kg\cdot{}^\circ C)}.
Constante de decaimento:
\alpha=\frac{2h}{\rho\,L\,c_p} =\frac{2\times320}{2800\times0{,}02\times900}\approx0{,}0127\;\mathrm{s^{-1}}.
Então
T(20)=20+(200-20)e^{-0{,}0127\times20} \approx20+180\times0{,}776 \approx159{,}7^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Determina-se t tal que T(t)=40^\circ\mathrm{C}. Usa-se
\frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty} =e^{-\alpha t} \quad\Longrightarrow\quad \frac{40-20}{200-20}=e^{-0{,}0127\,t}
0{,}1111=e^{-0{,}0127\,t} \quad\Longrightarrow\quad -0{,}0127\,t=\ln(0{,}1111)=-2{,}1972
t=\frac{2{,}1972}{0{,}0127}\approx173\;\mathrm{s}.

Resposta

a) \mathrm{Bi}=0{,}02<0{,}1, logo o modelo de parâmetro concentrado é aplicável.
b) T(20\,\mathrm{s})\approx159{,}7^\circ\mathrm{C}.
c) t\approx173\;\mathrm{s} para T=40^\circ\mathrm{C}.

Exercícios relacionados