Uma extensa parede plana de L de espessura é submetida a uma geração de calor uniforme dot{q}. Determine o perfil de temperatura da parede se:
\mathrm{T}_{1}>\mathrm{T}_{2}

Passo 1

O enunciado descreve condução de calor unidimensional em regime permanente numa parede plana de espessura L com geração volumétrica uniforme de calor \dot{q}. As temperaturas nas faces são impostas:
T(0)=T_{1},\quad T(L)=T_{2},\quad T_{1}>T_{2}.
O conteúdo a usar é a equação geral de condução com geração interna.

Passo 2

Escrevemos a equação de energia (equação de Poisson) para condução unidimensional sem termo convectivo nem fontes de fluxo na fronteira:
k\,\frac{\mathrm{d}^{2}T}{\mathrm{d}x^{2}}+\dot{q}=0,
onde k é a condutividade térmica. Rearranjando:
\frac{\mathrm{d}^{2}T}{\mathrm{d}x^{2}}=-\frac{\dot{q}}{k}.

Passo 3

Integramos uma vez em x:
\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}=-\frac{\dot{q}}{k}\,x+C_{1}.
Integramos novamente:
T(x)=-\frac{\dot{q}}{2k}\,x^{2}+C_{1}\,x+C_{2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes de integração.

Passo 4

Impondo a condição de contorno em x=0:
T(0)=T_{1}\quad\Longrightarrow\quad C_{2}=T_{1}.
Em x=L:
T(L)=T_{2}\quad\Longrightarrow\quad -\frac{\dot{q}}{2k}L^{2}+C_{1}L+T_{1}=T_{2}
\Longrightarrow\quad C_{1}=\frac{T_{2}-T_{1}}{L}+\frac{\dot{q}\,L}{2k}.

Passo 5

Substituindo C_{1} e C_{2} em T(x), obtemos o perfil de temperatura:
T(x)=-\frac{\dot{q}}{2k}x^{2} +\Bigl(\frac{T_{2}-T_{1}}{L}+\frac{\dot{q}\,L}{2k}\Bigr)x+T_{1}.
Pode‐se reorganizar como
T(x)=T_{1}+\frac{T_{2}-T_{1}}{L}\,x+\frac{\dot{q}}{2k}\,x\,(L-x).

Resposta

T(x)=T_{1}+\frac{T_{2}-T_{1}}{L}\,x+\frac{\dot{q}}{2k}\,x\,(L-x).

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