Uma linha de transporte de agua deverá ser enterrada no solo a uma profundidade tal que o congelamento no inverno seja evitado. O solo está inicialmente a uma temperatura uniforme de 20 { }^{\circ} \mathrm{C}, quando uma corrente de ar frio baixa a temperatura da superficie do solo para -5^{\circ} \mathrm{C}. Admita a difusidade térmica do solo igual a 2 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}.
a) Em que profundidade deverá ser enterrado o cano, para que a agua não congele a pressão atmosférica, se a corrente permanece por 40 dias?
b) Em quanto tempo a temperatura atinge 0^{\circ} \mathrm{C} a 1 metro da superficie do solo?
c) Qual a temperatura a 1 metro da superfície, 2 dias após o inicio do processo?

Passo 1

O problema trata de condução de calor unidimensional num semi-espaço (solo) inicialmente a 20\,^\circ\mathrm{C}. A partir de t=0 a superfície é mantida a -5\,^\circ\mathrm{C}. Admitimos difusividade térmica \alpha=2\times10^{-5}\,\mathrm{m^2/s}. Para um semi-espaço com mudança brusca na superfície, a solução analítica é dada pela função erro:
T(x,t)=T_s +\bigl(T_i - T_s\bigr)\,\erf\!\biggl(\frac{x}{2\sqrt{\alpha\,t}}\biggr)
onde T_i=20\,^\circ\mathrm{C} é a temperatura inicial e T_s=-5\,^\circ\mathrm{C} é a temperatura de superfície mantida.

Passo 2

Para evitar congelamento a uma profundidade x após tempo t, exigimos
T(x,t)\ge0\,^\circ\mathrm{C}.
Em particular, para t=40 dias ( t=40\times24\times3600=3\,456\,000 s), colocamos T(x,3\,456\,000)=0. Assim
-5 + (20 -(-5))\,\erf\!\bigl(\tfrac{x}{2\sqrt{\alpha\,t}}\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \erf\!\bigl(\tfrac{x}{2\sqrt{\alpha\,t}}\bigr)=\frac{5}{25}=0,2.
Chamando \zeta=\erf^{-1}(0,2)\approx0,179, obtemos
x = 2\,\zeta\,\sqrt{\alpha\,t} =2\times0,179\times\sqrt{2\times10^{-5}\times3\,456\,000}\approx2,98\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Para achar o tempo necessário para T(1\,\mathrm{m},t)=0, repetimos a condição
-5 +25\,\erf\!\bigl(\tfrac{1}{2\sqrt{\alpha\,t}}\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \erf\!\bigl(\tfrac{1}{2\sqrt{\alpha\,t}}\bigr)=0,2
e
\frac{1}{2\sqrt{\alpha\,t}}=\zeta\approx0,179 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{\alpha\,t}=\frac{1}{2\zeta}\approx2,79 \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{2,79^2}{\alpha}\approx3,90\times10^5\\ \mathrm{s}\approx4,52\\ \mathrm{dias}.

Passo 4

Para encontrar T(1\,\mathrm{m},2\\ \mathrm{dias}), usamos t=2\times24\times3600=172\,800 s e
\eta=\frac{1}{2\sqrt{\alpha\,t}} =\frac{1}{2\sqrt{2\times10^{-5}\times172\,800}}\approx0,269,
\erf(0,269)\approx0,295,
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T(1,2\\ \mathrm{dias}) =-5 +25\times0,295\approx2,38\,^\circ\mathrm{C}.

Resposta

(a) x\approx2,98\\ \mathrm{m}
(b) t\approx4,52\\ \mathrm{dias}
(c) T(1\,\mathrm{m},2\\ \mathrm{dias})\approx2,38\,^\circ\mathrm{C}

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