Uma série de transistores de potência, dissipando 6 W de potência cada, devem ser resfriados montando-os em uma placa de alumínio quadrada de 25 \mathrm{cm} \times 25 \mathrm{~cm} e soprando ar a 35^{\circ} \mathrm{C} sobre a placa com um ventilador com uma velocidade de 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A temperatura média da placa não deve ser superior a 65^{\circ} \mathrm{C}. Partindo do princípio que a transferência de calor no verso da placa seja desprezível e ignorando a radiação, determinar o número de transistores que podem ser colocados sobre esta placa.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes dados da imagem enviada).
  • Dados do enunciado / imagem:
    • Placa quadrada com lado L=25\\ \mathrm{cm}=0,25\\ \mathrm{m}.
    • Ar soprando sobre a face superior com velocidade V=4\\ \mathrm{m/s}.
    • Temperatura do ar ambiente T_\infty=35^{\circ}\mathrm{C}.
    • Temperatura média máxima permitida da placa T_s=65^{\circ}\mathrm{C}.
    • Cada transistor dissipa P_{\text{tr}}=6\\ \mathrm{W}.
    • Transferência de calor no verso da placa desprezível (somente convecção na face superior) e radiação ignorada.
  • Pedido:
    • Determinar o número máximo de transistores que podem ser colocados sobre a placa sem que a temperatura média da placa exceda T_s=65^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 2

Estratégia (explicação do que vamos usar, passo a passo didático):
  • A placa recebe potência total dos transistores Q_{\text{ger}} (soma das potências dissipadas) e perde calor por convecção para o ar: a condição de equilíbrio é
Q_{\text{ger}} = h\,A\,(T_s-T_\infty),
onde:
  • h é o coeficiente convectivo médio (em \mathrm{W/(m^2\cdot K)}),
  • A é a área projetada para convecção (a face superior da placa),
  • T_s é a temperatura de superfície média da placa,
  • T_\infty é a temperatura do ar remoto.
  • Logo, o número de transistores máximo é
N_{\max} = \left\lfloor\frac{h\,A\,(T_s-T_\infty)}{P_{\text{tr}}}\right\rfloor,
onde \lfloor\cdot\rfloor indica a parte inteira (não dá para colocar uma fração de transistor).
  • Precisamos, portanto, calcular h. Para um fluxo de ar sobre uma placa plana, usamos correlações de convecção forçada. Primeiro calculamos o número de Reynolds baseado no comprimento característico L,
\mathrm{Re}_L=\frac{V\,L}{\nu},
onde \nu é a viscosidade cinemática do ar no que chamamos de temperatura de filme T_f (explico abaixo).

Passo 3

Temperatura de filme e propriedades do ar (por que e como escolher):
  • A temperatura de filme é a média entre T_s e T_\infty:
T_f=\frac{T_s+T_\infty}{2}=\frac{65+35}{2}=50^{\circ}\mathrm{C}.
  • Em correntes de calor convectivas, as propriedades do fluido (viscosidade, condutividade térmica, Prandtl) devem ser avaliadas em T_f.
  • Vou usar valores aproximados do ar em T_f=50^{\circ}\mathrm{C} (valores típicos tabulados; para a prova isso é aceitável):
    • viscosidade cinemática \nu \approx 1{,}85\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s},
    • condutividade térmica k \approx 0{,}027\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},
    • número de Prandtl \mathrm{Pr}\approx0{,}71.
  • Observação didática: esses valores variam pouco com a temperatura próxima de 50^{\circ}\mathrm{C}; usar valores tabulados arredondados é comum em exercícios de prova.

Passo 4

Cálculo do número de Reynolds e verificação do regime:
  • Calcular \mathrm{Re}_L:
\mathrm{Re}_L=\frac{V\,L}{\nu}=\frac{4\cdot0,25}{1{,}85\times10^{-5}}.
  • Efetuando a conta passo a passo:
    • V\,L = 4\cdot0,25 = 1{,}0.
    • \mathrm{Re}_L = \dfrac{1{,}0}{1{,}85\times10^{-5}} \approx 5{,}405\times10^{4}.
  • Interpretação: a transição laminar→turbulento para fluxo sobre placa plana costuma ocorrer em torno de \mathrm{Re}_x\approx5\times10^{5} (base no comprimento). Como \mathrm{Re}_L\approx5{,}4\times10^{4} é bem menor que 5\times10^{5}, o escoamento ao longo da placa é predominantemente laminar. Portanto usamos a correlação laminar média.

Passo 5

Correlação de Nusselt para placa plana em escoamento laminar (explicando a fórmula e variáveis):
  • Para escoamento laminar sobre uma placa plana, o número de Nusselt médio baseado no comprimento L é dado pela correlação de Blasius/Prandtl (válida para \mathrm{Pr}\gtrsim0{,}6):
\mathrm{Nu}_L = 0{,}664\,\mathrm{Re}_L^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3},
onde:
  • \mathrm{Nu}_L=\dfrac{h\,L}{k} é o número de Nusselt médio sobre o comprimento L,
  • \mathrm{Re}_L já calculado,
  • \mathrm{Pr} é o número de Prandtl do ar.
  • Calculando os termos:
    • \mathrm{Re}_L^{1/2} \approx \sqrt{5{,}405\times10^{4}} \approx 232{,}5.
    • \mathrm{Pr}^{1/3} \approx 0{,}71^{1/3} \approx 0{,}893.
    • \mathrm{Nu}_L \approx 0{,}664\cdot232{,}5\cdot0{,}893 \approx 137{,}6.
  • Então o coeficiente convectivo médio h é
h = \frac{\mathrm{Nu}_L\,k}{L}=\frac{137{,}6\cdot0{,}027}{0,25}.
  • Calculando:
    • 137{,}6\cdot0{,}027 \approx 3{,}715.
    • h \approx \dfrac{3{,}715}{0,25} \approx 14{,}86\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 6

Cálculo da área e da potência removível pela convecção:
  • Área da face superior da placa:
A = L^2 = (0,25)^2 = 0,0625\\ \mathrm{m^2}.
  • Diferença de temperatura:
\Delta T = T_s-T_\infty = 65-35 = 30\\ \mathrm{K}.
  • Potência total removível por convecção:
Q_{\text{conv}} = h\,A\,\Delta T = 14{,}86\cdot0{,}0625\cdot30.
  • Calculando passo a passo:
    • h\,A = 14{,}86\cdot0{,}0625 \approx 0{,}92875\\ \mathrm{W/K}.
    • Q_{\text{conv}} \approx 0{,}92875\cdot30 \approx 27{,}86\\ \mathrm{W}.
  • Interpretação: a placa, nas condições dadas, pode perder aproximadamente 27{,}9\\ \mathrm{W} por convecção na face superior mantendo a superfície em 65^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 7

Determinar o número máximo de transistores:
  • Cada transistor dissipa P_{\text{tr}}=6\\ \mathrm{W}. Logo
N_{\max} = \left\lfloor\frac{Q_{\text{conv}}}{P_{\text{tr}}}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{27{,}86}{6}\right\rfloor.
  • Calculando:
    • \dfrac{27{,}86}{6}\approx4{,}64.
    • Tomando a parte inteira: N_{\max}=4.
  • Interpretação prática: pode-se colocar no máximo 4 transistores de 6\\ \mathrm{W} cada sem ultrapassar 65^{\circ}\mathrm{C} na média da placa, nas hipóteses do enunciado (face de baixo sem troca de calor e sem radiação).

Passo 8

Observações finais, dicas para prova e fontes de incerteza (curto e prático):
  • Dica útil para prova: sempre calcule a temperatura de filme T_f para avaliar propriedades do ar; verifique o regime pelo \mathrm{Re} e escolha a correlação adequada (laminar ou turbulento). Memorizar as formas básicas de \mathrm{Nu} para placa plana ajuda bastante.
  • Fontes de erro/praticidade:
    • Propriedades do ar usadas são aproximadas; pequenas variações mudam pouco o N_{\max}.
    • Se a face inferior não fosse isolada ou se a radiação fosse significativa, o número poderia ser diferente.
    • Disposição dos transistores (sombreamento do fluxo, aquecimento localizado) pode reduzir a eficácia prática — aqui tratamos o caso idealizado pedido pelo enunciado.
  • Parabéns por chegar até aqui — dá para fazer isso na prova seguindo esses passos com calma.

Resposta

4 transistores

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