Uma aleta de resfriamento de alumínio para um trocador de calor está situada paralela a uma corrente de ar de pressão atmosférica. A aleta tem 0,075 \mathrm{~m} de altura, 0,005 \mathrm{~m} de espessura, e 0,45 \mathrm{~m} na direção do fluxo. A temperatura da base está a 88^{\circ} \mathrm{C}, e o ar está a 10^{\circ} \mathrm{C}. A velocidade do ar é 27 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a força total de arrasto e a dissipação de calor pela aleta.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a força total de arrasto sobre a aleta.
  • Determinar a dissipação de calor (potência térmica, \dot{Q}) fornecida pela aleta ao ar.
Informações fornecidas (retirei os números da figura):
  • Altura (span) da aleta: H = 0{,}075\\ \mathrm{m}.
  • Espessura da aleta: t = 0{,}005\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da aleta na direção do escoamento (desde a base): L = 0{,}45\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura da base da aleta: T_b = 88^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar (fluido ambiente): T_\infty = 10^\circ\mathrm{C}.
  • Velocidade do ar (velocidade livre): U_\infty = 27\\ \mathrm{m/s}.
  • Pressão: atmosfera (não é necessária explicitamente para os cálculos que faremos além das propriedades do ar).
O que eu vou precisar calcular a partir desses dados:
  • Número de Reynolds baseado em L, para escolher correlações de atrito e convecção.
  • Coeficiente de atrito de superfície (para calcular força de arrasto por atrito).
  • Coeficiente de transferência de calor (a partir de um número de Nusselt adequado) e, em seguida, o coeficiente convectivo h.
  • Usar a teoria da aleta (fin) de seção constante para calcular a dissipação térmica total da aleta.
Não começo a resolver ainda; só organizei o que é pedido e o que temos.

Passo 2

Decisão sobre propriedades do ar e justificativa didática (muito importante para ter valores numéricos):
  • Para propriedades físicas (massa específica, viscosidade dinâmica, condutividade térmica, Prandtl) usarei valores do ar à temperatura média (temperatura de filme) entre a superfície e o fluido, porque isso dá boa aproximação para escoamento e convecção forçada. A temperatura de filme é
T_f = \frac{T_b + T_\infty}{2} = \frac{88 + 10}{2} = 49^\circ\mathrm{C}.
  • Vou tomar valores aproximados do ar a T_f \approx 49^\circ\mathrm{C} (valores típicos tabulados). Para não complicar com tabelas longas, uso valores arredondados razoáveis:
    • Massa específica: \rho \approx 1{,}09\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Viscosidade dinâmica: \mu \approx 2{,}10\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    • Viscosidade cinemática: \nu = \mu/\rho \approx \dfrac{2{,}10\times10^{-5}}{1{,}09} \approx 1{,}93\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
    • Condutividade térmica: k \approx 0{,}028\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • Prandtl: \mathrm{Pr} \approx 0{,}71.
  • Observação: esses valores são aproximados, mas adequados para estimativas e corrempondem ao procedimento padrão em problemas de transferência de calor/fluídos em regime externo.

Passo 3

Cálculo do número de Reynolds baseado em L e decisão do regime (laminar/turbulento):
  • Definição: \mathrm{Re}_L = \dfrac{U_\infty L}{\nu}. Aqui cada variável é:
    • U_\infty = velocidade livre ( \mathrm{m/s}),
    • L = comprimento característico na direção do escoamento ( \mathrm{m}),
    • \nu = viscosidade cinemática ( \mathrm{m^2/s}).
  • Substituindo:
\mathrm{Re}_L = \dfrac{27\cdot 0{,}45}{1{,}93\times10^{-5}} \approx \dfrac{12{,}15}{1{,}93\times10^{-5}} \approx 6,31\times10^{5}.
  • Interpretação: para placas planas com escoamento externo, a transição laminar→turbulento costuma ocorrer por volta de \mathrm{Re}_x\approx 5\times10^{5}. Como \mathrm{Re}_L\approx 6{,}3\times10^{5}, a camada limite ao longo de L está no regime transicional a turbulento; para estimativas práticas é comum usar correlações de regime turbulento (ou assumir totalmente turbulento a partir de um ponto). Vou usar correlações para escoamento predominantemente turbulento sobre placa longa (método padrão para problemas de prova).

Passo 4

Cálculo do coeficiente médio de atrito de parede (skin-friction) para placa com escoamento turbulento:
  • Fórmula que usarei (média ao longo do comprimento L para escoamento turbulento sobre placa lisa):
C_{f,\text{avg}} \approx \dfrac{0{,}074}{\mathrm{Re}_L^{1/5}}.
  • Substituo \mathrm{Re}_L:
\mathrm{Re}_L^{1/5} = (6{,}31\times10^{5})^{0{,}2} \approx 14{,}47,
C_{f,\text{avg}} \approx \dfrac{0{,}074}{14{,}47} \approx 0{,}00512.
  • Interpretação: C_f é adimensional e relaciona a tensão de cisalhamento média da parede \tau_w à pressão dinâmica \tfrac12\rho U_\infty^2:
C_f = \dfrac{\tau_w}{\tfrac12\rho U_\infty^2}.

Passo 5

Cálculo da força de arrasto por atrito nas faces da aleta:
  • Área exposta de cada face (cada lado grande da aleta): A_{\text{face}} = L\cdot H = 0{,}45\cdot 0{,}075 = 0{,}03375\\ \mathrm{m^2}.
  • A aleta tem duas faces grandes, então área molhada devido às faces: A_w = 2 A_{\text{face}} = 2\cdot 0{,}03375 = 0{,}0675\\ \mathrm{m^2}.
  • Pressão dinâmica:
q = \tfrac12 \rho U_\infty^2 = \tfrac12\cdot 1{,}09 \cdot 27^2 = 0{,}5\cdot 1{,}09 \cdot 729 \approx 397{,}6\\ \mathrm{Pa}.
  • Força de arrasto por atrito nas faces:
D_{\text{fric}} = C_{f,\text{avg}} \, q \, A_w.
Substituindo:
D_{\text{fric}} \approx 0{,}00512 \cdot 397{,}6 \cdot 0{,}0675 \approx 0{,}137\\ \mathrm{N}.
  • Comentário: esse é o arrasto devido ao atrito viscoso nas grandes faces.

Passo 6

Estimativa do arrasto de forma (pressure drag) devido às bordas finas (leading e trailing edges) e soma ao arrasto total:
  • A aleta tem espessura pequena t e altura H, então a área frontal (projetada no plano perpendicular ao escoamento) de uma borda é A_{\text{edge}} = t\cdot H = 0{,}005\cdot 0{,}075 = 3{,}75\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
  • Existem duas bordas frontais relevantes (a “frontal” e a “trailing”), então área total de bordas projetada: A_{\text{edges,tot}} = 2 A_{\text{edge}} = 7{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
  • Para estimar o arrasto de forma uso a expressão clássica:
D_{\text{edges}} = q \, C_{d,\text{edge}} \, A_{\text{edges,tot}}.
  • O coeficiente de arrasto C_{d,\text{edge}} de uma borda fina perpendicular ao fluxo depende da forma; para uma estimativa conservadora tomarei C_{d,\text{edge}}\approx 1{,}0 (valor plausível para pequenas seções planas/arestas). Essa escolha é uma aproximação — se a aresta for muito afiada o C_d pode ser menor; se for um perfil plano perpendicular, pode ser maior (≈1{,}2–1{,}3). A ideia é obter uma ordem de grandeza.
  • Substituindo:
D_{\text{edges}} \approx 397{,}6 \cdot 1{,}0 \cdot 7{,}5\times10^{-4} \approx 0{,}298\\ \mathrm{N}.
  • Arrasto total estimado (faces + bordas):
D_{\text{total}} \approx D_{\text{fric}} + D_{\text{edges}} \approx 0{,}137 + 0{,}298 \approx 0{,}435\\ \mathrm{N}.
  • Observação didática: eu somei a contribuição por atrito nas faces (que calculamos pela correlação de C_f) e uma estimativa conservadora do arrasto de forma das bordas. Dependendo de quão afiada for a aresta e da interação de vórtices, o termo de borda pode variar; portanto o D_{\text{total}} dado é uma estimativa razoável de ordem de grandeza. Se você for instruído a desprezar arrasto de forma, então o arrasto seria apenas D_{\text{fric}}\approx0{,}137\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Cálculo do coeficiente convectivo médio h para as faces da aleta (necessário para a análise da aleta térmica):
  • Para placa plana com escoamento externo e \mathrm{Re}_L grande (regime turbulento), uma correlação média de Nusselt é:
\mathrm{Nu}_L = 0{,}037\,\mathrm{Re}_L^{4/5}\,\mathrm{Pr}^{1/3},
válida para \mathrm{Re}_L \gtrsim 5\times10^{5} e 0{,}6 \le \mathrm{Pr} \le 60.
  • Cálculo de \mathrm{Re}_L^{4/5} usando o valor já obtido:
\mathrm{Re}_L^{1/5}\approx 14{,}47 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{Re}_L^{4/5} = (\mathrm{Re}_L^{1/5})^4 \approx 14{,}47^4 \approx 4{,}30\times10^{4}.
  • Substituindo:
\mathrm{Nu}_L \approx 0{,}037 \cdot 4{,}30\times10^{4} \cdot 0{,}71^{1/3}.
  • Primeiro \mathrm{Pr}^{1/3}\approx 0{,}71^{1/3}\approx 0{,}89. Então
\mathrm{Nu}_L \approx 0{,}037 \cdot 4{,}30\times10^{4} \cdot 0{,}89 \approx 1{,}415\times10^{3}.
  • O coeficiente convectivo médio h é
h = \dfrac{\mathrm{Nu}_L \, k}{L} \approx \dfrac{1{,}415\times10^{3}\cdot 0{,}028}{0{,}45} \approx 88{,}0\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Interpretação: h é a constante que relaciona fluxo de calor convectivo por unidade de área à diferença de temperatura média entre superfície e fluido.

Passo 8

Preparação para a teoria da aleta (fin) e definição das grandezas:
  • A aleta é um corpo alongado com seção constante (espessura t e largura H). O calor é conduzido ao longo do comprimento x (de x=0 na base até x=L na ponta) e perdido por convecção nas superfícies laterais.
  • As grandezas geométricas relevantes:
    • Área da seção transversal para condução ao longo da aleta: A_c = t\cdot H = 0{,}005\cdot 0{,}075 = 3{,}75\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
    • Perímetro molhado por unidade de comprimento (contorno exposto à convecção): P = 2(H + t) = 2(0{,}075 + 0{,}005) = 0{,}16\\ \mathrm{m}.
    • Condutividade térmica do alumínio: k_{\text{Al}} \approx 205\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} (valor típico).
  • A equação-chave para a aleta de seção constante (solução padrão da EDO linear) envolve o parâmetro
m = \sqrt{\dfrac{hP}{k_{\text{Al}} A_c}}.
  • Quando a extremidade da aleta troca calor por convecção (condição de ponta convectiva), a expressão exata para o calor removido pela aleta é um pouco longa. Porém, para a maioria dos casos práticos, se mL for moderadamente grande, pode-se usar a aproximação simplificada
\dot{Q}_{\text{fin}} \approx \sqrt{h P k_{\text{Al}} A_c}\; (T_b - T_\infty)\; \operatorname{tanh}(mL).
Explicação dos termos:
  • \dot{Q}_{\text{fin}} = taxa de calor removida pela aleta.
  • T_b - T_\infty = diferença de temperatura entre base e fluido.
  • \operatorname{tanh}(mL) aparece por solução da EDO e tende a 1 para aletas longas (eficiência próxima a 1 do comprimento).

Passo 9

Cálculo do parâmetro m e do termo pré-fatorial:
  • Calcule hP:
hP = 88{,}0\cdot 0{,}16 = 14{,}08\\ \mathrm{W/m^2\cdot m} = 14{,}08\\ \mathrm{W/m}.
  • Calcule k_{\text{Al}} A_c:
k_{\text{Al}} A_c = 205 \cdot 3{,}75\times10^{-4} = 0{,}076875\\ \mathrm{W/K}.
  • Então
\dfrac{hP}{k_{\text{Al}} A_c} = \dfrac{14{,}08}{0{,}076875} \approx 183{,}2,
m = \sqrt{183{,}2} \approx 13{,}54\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Calcule mL:
mL = 13{,}54 \cdot 0{,}45 \approx 6{,}09.
  • Observação: mL\approx 6{,}09 é bastante maior que 1, então \operatorname{tanh}(mL) está muito próximo de 1. De fato
\operatorname{tanh}(6{,}09)\approx 0{,}99999\approx 1,
o que simplifica a expressão final (a ponta efetivamente não reduz muito a transferência).
  • Calcule o termo sob a raiz:
h P k_{\text{Al}} A_c = 14{,}08 \cdot 0{,}076875 \approx 1{,}0829,
\sqrt{h P k_{\text{Al}} A_c} \approx \sqrt{1{,}0829} \approx 1{,}0406\\ \mathrm{(W/K)}.
(Nessa unidade o resultado multiplicado por (T_b-T_\infty) dá potência em watts.)

Passo 10

Cálculo final da dissipação de calor pela aleta:
  • Diferença de temperatura:
T_b - T_\infty = 88 - 10 = 78\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Como \operatorname{tanh}(mL)\approx 1, usamos
\dot{Q}_{\text{fin}} \approx \sqrt{h P k_{\text{Al}} A_c}\; (T_b - T_\infty) \approx 1{,}0406 \cdot 78 \approx 81{,}2\\ \mathrm{W}.
  • Interpretação: a aleta perde cerca de 81\\ \mathrm{W} para o ar sob as condições dadas. Isso inclui ambas as faces porque o perímetro P considera ambas as superfícies expostas.

Passo 11

Recapitulação das aproximações e avaliação de sensibilidade (para você se sentir confiante):
  • Propriedades do ar: usei valores à temperatura de filme T_f. Se você usar tabelas com precisão maior, os números podem mudar uns poucos por cento.
  • Regime de escoamento: assumi comportamento turbulento sobre a placa e usei correlações clássicas. Se o escoamento fosse essencialmente laminar até grande parte do comprimento, h e C_f seriam menores; mas com \mathrm{Re}_L\sim6{,}3\times10^{5} a escolha por correlações turbulentas é razoável.
  • Arrasto: calculei componente por atrito (faces) e estimei componente de forma (bordas) com C_{d,\text{edge}}\approx1{,}0. Se a borda for muito afiada o termo de borda será menor; se for obtusa, maior. O termo de borda domina a incerteza na estimativa do arrasto total.
  • A dissipação térmica tem menor sensibilidade a pequenas variações nas propriedades, e o valor \approx 81\\ \mathrm{W} é uma boa estimativa.

Resposta

Força total de arrasto aproximada: 0{,}44\\ \mathrm{N}
Dissipação de calor pela aleta: \dot{Q}\approx 81{,}2\\ \mathrm{W}

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