Uma aleta de resfriamento de alumínio para um trocador de calor está situada paralela a uma corrente de ar de pressão atmosférica. A aleta tem
de altura,
de espessura, e
na direção do fluxo. A temperatura da base está a
, e o ar está a
. A velocidade do ar é
. Determine a força total de arrasto e a dissipação de calor pela aleta.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar a força total de arrasto sobre a aleta.
- Determinar a dissipação de calor (potência térmica,
) fornecida pela aleta ao ar.
Informações fornecidas (retirei os números da figura):
- Altura (span) da aleta:
. - Espessura da aleta:
. - Comprimento da aleta na direção do escoamento (desde a base):
. - Temperatura da base da aleta:
. - Temperatura do ar (fluido ambiente):
. - Velocidade do ar (velocidade livre):
. - Pressão: atmosfera (não é necessária explicitamente para os cálculos que faremos além das propriedades do ar).
O que eu vou precisar calcular a partir desses dados:
- Número de Reynolds baseado em
, para escolher correlações de atrito e convecção. - Coeficiente de atrito de superfície (para calcular força de arrasto por atrito).
- Coeficiente de transferência de calor (a partir de um número de Nusselt adequado) e, em seguida, o coeficiente convectivo
. - Usar a teoria da aleta (fin) de seção constante para calcular a dissipação térmica total da aleta.
Não começo a resolver ainda; só organizei o que é pedido e o que temos.
Passo 2
Decisão sobre propriedades do ar e justificativa didática (muito importante para ter valores numéricos):
- Para propriedades físicas (massa específica, viscosidade dinâmica, condutividade térmica, Prandtl) usarei valores do ar à temperatura média (temperatura de filme) entre a superfície e o fluido, porque isso dá boa aproximação para escoamento e convecção forçada. A temperatura de filme é
- Vou tomar valores aproximados do ar a
(valores típicos tabulados). Para não complicar com tabelas longas, uso valores arredondados razoáveis: - Massa específica:
. - Viscosidade dinâmica:
. - Viscosidade cinemática:
. - Condutividade térmica:
. - Prandtl:
.
- Massa específica:
- Observação: esses valores são aproximados, mas adequados para estimativas e corrempondem ao procedimento padrão em problemas de transferência de calor/fluídos em regime externo.
Passo 3
Cálculo do número de Reynolds baseado em
e decisão do regime (laminar/turbulento):
- Definição:
. Aqui cada variável é: -
= velocidade livre ( ), -
= comprimento característico na direção do escoamento ( ), -
= viscosidade cinemática ( ).
-
- Substituindo:
- Interpretação: para placas planas com escoamento externo, a transição laminar→turbulento costuma ocorrer por volta de
. Como , a camada limite ao longo de está no regime transicional a turbulento; para estimativas práticas é comum usar correlações de regime turbulento (ou assumir totalmente turbulento a partir de um ponto). Vou usar correlações para escoamento predominantemente turbulento sobre placa longa (método padrão para problemas de prova).
Passo 4
Cálculo do coeficiente médio de atrito de parede (skin-friction) para placa com escoamento turbulento:
- Fórmula que usarei (média ao longo do comprimento
para escoamento turbulento sobre placa lisa):
- Substituo
:
- Interpretação:
é adimensional e relaciona a tensão de cisalhamento média da parede à pressão dinâmica :
Passo 5
Cálculo da força de arrasto por atrito nas faces da aleta:
- Área exposta de cada face (cada lado grande da aleta):
- A aleta tem duas faces grandes, então área molhada devido às faces:
- Pressão dinâmica:
- Força de arrasto por atrito nas faces:
Substituindo:
- Comentário: esse é o arrasto devido ao atrito viscoso nas grandes faces.
Passo 6
Estimativa do arrasto de forma (pressure drag) devido às bordas finas (leading e trailing edges) e soma ao arrasto total:
- A aleta tem espessura pequena
e altura , então a área frontal (projetada no plano perpendicular ao escoamento) de uma borda é - Existem duas bordas frontais relevantes (a “frontal” e a “trailing”), então área total de bordas projetada:
- Para estimar o arrasto de forma uso a expressão clássica:
- O coeficiente de arrasto
de uma borda fina perpendicular ao fluxo depende da forma; para uma estimativa conservadora tomarei (valor plausível para pequenas seções planas/arestas). Essa escolha é uma aproximação — se a aresta for muito afiada o pode ser menor; se for um perfil plano perpendicular, pode ser maior (≈1{,}2–1{,}3). A ideia é obter uma ordem de grandeza. - Substituindo:
- Arrasto total estimado (faces + bordas):
- Observação didática: eu somei a contribuição por atrito nas faces (que calculamos pela correlação de
) e uma estimativa conservadora do arrasto de forma das bordas. Dependendo de quão afiada for a aresta e da interação de vórtices, o termo de borda pode variar; portanto o dado é uma estimativa razoável de ordem de grandeza. Se você for instruído a desprezar arrasto de forma, então o arrasto seria apenas .
Passo 7
Cálculo do coeficiente convectivo médio
para as faces da aleta (necessário para a análise da aleta térmica):
- Para placa plana com escoamento externo e
grande (regime turbulento), uma correlação média de Nusselt é:
válida para
e
.
- Cálculo de
usando o valor já obtido:
- Substituindo:
- Primeiro
. Então
- O coeficiente convectivo médio
é
- Interpretação:
é a constante que relaciona fluxo de calor convectivo por unidade de área à diferença de temperatura média entre superfície e fluido.
Passo 8
Preparação para a teoria da aleta (fin) e definição das grandezas:
- A aleta é um corpo alongado com seção constante (espessura
e largura ). O calor é conduzido ao longo do comprimento (de na base até na ponta) e perdido por convecção nas superfícies laterais. - As grandezas geométricas relevantes:
- Área da seção transversal para condução ao longo da aleta:
- Perímetro molhado por unidade de comprimento (contorno exposto à convecção):
- Condutividade térmica do alumínio:
(valor típico).
- Área da seção transversal para condução ao longo da aleta:
- A equação-chave para a aleta de seção constante (solução padrão da EDO linear) envolve o parâmetro
- Quando a extremidade da aleta troca calor por convecção (condição de ponta convectiva), a expressão exata para o calor removido pela aleta é um pouco longa. Porém, para a maioria dos casos práticos, se
for moderadamente grande, pode-se usar a aproximação simplificada
Explicação dos termos:
-
= taxa de calor removida pela aleta. -
= diferença de temperatura entre base e fluido. -
aparece por solução da EDO e tende a 1 para aletas longas (eficiência próxima a 1 do comprimento).
Passo 9
Cálculo do parâmetro
e do termo pré-fatorial:
- Calcule
:
- Calcule
:
- Então
- Calcule
:
- Observação:
é bastante maior que 1, então está muito próximo de 1. De fato
o que simplifica a expressão final (a ponta efetivamente não reduz muito a transferência).
- Calcule o termo sob a raiz:
(Nessa unidade o resultado multiplicado por
dá potência em watts.)
Passo 10
Cálculo final da dissipação de calor pela aleta:
- Diferença de temperatura:
- Como
, usamos
- Interpretação: a aleta perde cerca de
para o ar sob as condições dadas. Isso inclui ambas as faces porque o perímetro considera ambas as superfícies expostas.
Passo 11
Recapitulação das aproximações e avaliação de sensibilidade (para você se sentir confiante):
- Propriedades do ar: usei valores à temperatura de filme
. Se você usar tabelas com precisão maior, os números podem mudar uns poucos por cento. - Regime de escoamento: assumi comportamento turbulento sobre a placa e usei correlações clássicas. Se o escoamento fosse essencialmente laminar até grande parte do comprimento,
e seriam menores; mas com a escolha por correlações turbulentas é razoável. - Arrasto: calculei componente por atrito (faces) e estimei componente de forma (bordas) com
. Se a borda for muito afiada o termo de borda será menor; se for obtusa, maior. O termo de borda domina a incerteza na estimativa do arrasto total. - A dissipação térmica tem menor sensibilidade a pequenas variações nas propriedades, e o valor
é uma boa estimativa.
Resposta
Força total de arrasto aproximada:
Dissipação de calor pela aleta:
Dissipação de calor pela aleta: