A placa circular, homogênea e de espessura constante, tem raio R e possui um furo circular de raio r=R / 4. Determine as coordenadas do centro de massa da placa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar as coordenadas do centro de massa de uma placa circular que é homogênea (ou seja, tem densidade uniforme) e de espessura constante. A placa tem um raio $ R $ e possui um furo circular com raio $ r = \frac{R}{4} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de música de centro de massa e simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria da placa. Imagine uma placa completa com raio $ R $. Se fizermos um furo central (ou seja, o furo está exatamente no meio da placa) com raio $ r = \frac{R}{4} $, a placa resultante ainda é simétrica em todas as direções ao redor do centro.

Passo 3

A simetria é uma chave aqui! Quando uma forma é simétrica em todas as direções ao redor de um ponto, o centro de massa dessa forma está exatamente nesse ponto de simetria. No nosso caso, a placa com o furo é simétrica em torno do centro original da placa.

Passo 4

Vamos pensar em termos de cálculo: para encontrar o centro de massa, precisaríamos integrar todas as pequenas partes da placa e considerar suas posições. Porém, devido à simetria perfeita, todas as forças (ou massas) se cancelam ao redor do centro, deixando o centro de massa exatamente no centro da placa.

Passo 5

Portanto, não precisamos fazer nenhum cálculo complicado aqui porque a simetria já nos dá a resposta direta. A presença do furo não desloca o centro de massa, já que o furo está centralizado e a distribuição de massa ao redor permanece igual em todas as direções.

Resposta

As coordenadas do centro de massa da placa são $ (0, 0) $.

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