Uma placa dielétrica preenche completamente o espaço entre as placas de um capacitor de placas paralelas. A magnitude da carga ligada em cada lado da placa dielétrica é 75 \% da magnitude da carga livre em cada placa. A capacitância é 480 P_{0} / l, onde l é uma constante com dimensões de comprimento, e a carga máxima que pode ser armazenada no capacitor é \frac{240}{2 P_{0} E_{\text {max }}}, onde E_{\text {max }} é o limite de ruptura.
a) Qual é a constante dielétrica da placa?
b) Calcule a distância 1 em função dos demais dados do enunciado?
c) Qual a área das placas do capacitor em termos de l?

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor de placas paralelas completamente preenchido por um dielétrico de constante dielétrica \kappa. Sabe-se que a carga ligada (ligada = carga ligada ao dielétrico) em cada face do dielétrico tem magnitude igual a 75\% da carga livre em cada placa. Além disso, foi dado
C=\frac{480\,P_{0}}{l},
onde P_{0} é a permissividade de referência (tipicamente \varepsilon_{0}) e l é a distância entre as placas; e que a carga máxima armazenável é
Q_{\max}=\frac{240}{2\,P_{0}\,E_{\max}}.
O que se pede:
a) \kappa.
b) A distância l em função dos demais dados.
c) A área A das placas em função dos dados (e de l, se aparecer).

Passo 2

Teoria de dielétrico: no interior do dielétrico a indução \mathbf D e a polarização \mathbf P satisfazem \mathbf D=\varepsilon_{0}\,\mathbf E+\mathbf P,
com \mathbf D\cdot\hat n=\sigma_{\text{livre}} e \mathbf P\cdot\hat n=-\sigma_{\text{ligada}}. Em módulo,
\sigma_{\text{livre}}=D=\varepsilon_{0}\,\kappa\,E, \qquad \sigma_{\text{ligada}}=P=\varepsilon_{0}(\kappa-1)\,E.
Portanto a razão entre carga ligada e livre é
\frac{\sigma_{\text{ligada}}}{\sigma_{\text{livre}}} =\frac{\varepsilon_{0}(\kappa-1)E}{\varepsilon_{0}\kappa E} =\frac{\kappa-1}{\kappa}.
O enunciado diz que essa razão vale 0{,}75.

Passo 3

A partir de \displaystyle\frac{\kappa-1}{\kappa}=0{,}75 obtemos
\kappa-1=0{,}75\,\kappa \;\Longrightarrow\; \kappa-0{,}75\kappa=1 \;\Longrightarrow\; 0{,}25\,\kappa=1 \;\Longrightarrow\; \kappa=4.

Passo 4

Para achar l usamos a condição de ruptura. A tensão máxima que o capacitor suporta é
V_{\max}=E_{\max}\,l,
e a carga máxima é
Q_{\max}=C\,V_{\max}=C\,E_{\max}\,l.
Logo, isolando l,
l=\frac{Q_{\max}}{C\,E_{\max}}.
Substituindo C=\frac{480\,P_{0}}{l} e a expressão de Q_{\max} não é necessário expandir aqui; a forma geral é esta.

Passo 5

Para a área A usamos a fórmula do capacitor de placas com dielétrico:
C=\frac{\varepsilon_{0}\,\kappa\,A}{l}.
Isolando A,
A=\frac{C\,l}{\varepsilon_{0}\,\kappa}.
Alternativamente, se P_{0}=\varepsilon_{0}, pode-se substituir C=\tfrac{480\,P_{0}}{l} e \kappa=4 para obter
A=\frac{\bigl(480\,\varepsilon_{0}/l\bigr)\,l}{\varepsilon_{0}\,4} =\frac{480}{4}=120.

Resposta

a) \displaystyle\kappa=4.
b) \displaystyle l=\frac{Q_{\max}}{C\,E_{\max}}.
c) \displaystyle A=\frac{C\,l}{\varepsilon_{0}\,\kappa}. (Se P_{0}=\varepsilon_{0} e \kappa=4, então A=120.)

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