Calcule o trabalho realizado pela força gravitacional \vec{F}=m \vec{g} sobre um corpo de massa m, quando este é lançado verticalmente para cima, a partir do solo, atingindo uma altura h e voltando à posição inicial.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pela força gravitacional \vec{F}=m\vec{g} sobre um corpo de massa m que parte do solo, sobe até a altura h e retorna ao ponto de partida. O conteúdo envolvido é o trabalho de uma força constante e a propriedade de força conservativa, usando a definição
W = \int \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}.

Passo 2

Escolhemos o eixo vertical z apontando para cima. Assim, \vec{g}=-g\,\hat{k} e
\vec{F}=m\vec{g}=-m g\,\hat{k}.
Na subida, o deslocamento elementar é \mathrm{d}\vec{r}=\mathrm{d}z\,\hat{k} com z variando de 0 a h. Logo,
W_{\text{subida}} =\int_{0}^{h}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r} =\int_{0}^{h}(-m g\,\hat{k})\cdot(\mathrm{d}z\,\hat{k}) =\int_{0}^{h}(-m g)\,\mathrm{d}z =-m g\,h.

Passo 3

Na descida, o corpo vai de z=h de volta a z=0. Usamos novamente \vec{F}=-m g\,\hat{k} e \mathrm{d}\vec{r}=\mathrm{d}z\,\hat{k}, mas agora com z indo de h a 0:
W_{\text{descida}} =\int_{h}^{0}(-m g)\,\mathrm{d}z =+m g\,h.

Passo 4

Somando os trabalhos na subida e na descida,
W_{\text{total}} =W_{\text{subida}}+W_{\text{descida}} =(-m g\,h)+(m g\,h) =0.
Isso confirma que a força gravitacional, sendo conservativa, realiza trabalho nulo em um percurso fechado.

Resposta

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