(2.0) Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro
e pelo cilindro
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante limitado pelas superfícies
e
. Informações relevantes dadas:
- Estamos no primeiro octante, ou seja
, e . - Há duas superfícies dadas:
e . - Precisamos encontrar o volume do sólido que fica ao mesmo tempo abaixo de
, à frente de (isto é, com limitado por essa superfície) e dentro do primeiro octante.
As perguntas são: qual é o volume desse sólido?
Passo 2
Interpretação geométrica e limites em
:
- A equação
é uma superfície que não depende de (por isso é um cilindro paralelo ao eixo ); para um dado ela determina a altura máxima em . - A equação
é uma superfície que não depende de (um cilindro paralelo ao eixo ); para um dado ela determina o máximo em . - Como estamos no primeiro octante, temos
e . - Para que essas cotas superiores sejam não negativas é necessário
, ou seja , logo .
Resumo dos limites:, , .
Passo 3
Montando a integral para o volume:
- O volume de um sólido pode ser obtido por uma integral tripla de
sobre a região . - Usando integração iterada na ordem
(uma escolha natural aqui porque os limites em e dependem apenas de ), temos
Expliquei por que escolhi essa ordem: é conveniente porque os limites internos são constantes em
e
para dado
.
Passo 4
Calcular as integrais internas passo a passo:
- Integro primeiro em
:
- Agora integro em
, cujo limite superior é exatamente :
Portanto a integral reduz-se a uma integral única em
:
Passo 5
Expandir o integrando e integrar termo a termo:
- Primeiro expando
:
- Agora integro de
a :
- Avaliando em
(e em dá zero):
Calcule cada termo:
Logo
Passo 6
Somar as frações para obter o valor final:
- Coloco tudo sobre o denominador comum
:
- Então
- Resultado final:
.