(2.0) Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro z=16-x^{2} e pelo cilindro y=16-x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante limitado pelas superfícies z=16-x^{2} e y=16-x^{2}. Informações relevantes dadas:
  • Estamos no primeiro octante, ou seja x\ge0, y\ge0 e z\ge0.
  • Há duas superfícies dadas: z=16-x^{2} e y=16-x^{2}.
  • Precisamos encontrar o volume do sólido que fica ao mesmo tempo abaixo de z=16-x^{2}, à frente de y=16-x^{2} (isto é, com y limitado por essa superfície) e dentro do primeiro octante.
    As perguntas são: qual é o volume desse sólido?

Passo 2

Interpretação geométrica e limites em x:
  • A equação z=16-x^{2} é uma superfície que não depende de y (por isso é um cilindro paralelo ao eixo y); para um dado x ela determina a altura máxima em z.
  • A equação y=16-x^{2} é uma superfície que não depende de z (um cilindro paralelo ao eixo z); para um dado x ela determina o máximo em y.
  • Como estamos no primeiro octante, temos 0\le y\le 16-x^{2} e 0\le z\le 16-x^{2}.
  • Para que essas cotas superiores sejam não negativas é necessário 16-x^{2}\ge0, ou seja x^{2}\le16, logo 0\le x\le4.
    Resumo dos limites: 0\le x\le4, 0\le y\le16-x^{2}, 0\le z\le16-x^{2}.

Passo 3

Montando a integral para o volume:
  • O volume de um sólido pode ser obtido por uma integral tripla de dV sobre a região R.
  • Usando integração iterada na ordem dz\,dy\,dx (uma escolha natural aqui porque os limites em y e z dependem apenas de x), temos
V=\iiint_{R} dV=\int_{x=0}^{4}\int_{y=0}^{16-x^{2}}\int_{z=0}^{16-x^{2}} dz\,dy\,dx.
Expliquei por que escolhi essa ordem: é conveniente porque os limites internos são constantes em y e z para dado x.

Passo 4

Calcular as integrais internas passo a passo:
  • Integro primeiro em z:
\int_{z=0}^{16-x^{2}} dz = \bigl[z\bigr]_{0}^{16-x^{2}} = 16-x^{2}.
  • Agora integro em y, cujo limite superior é exatamente 16-x^{2}:
\int_{y=0}^{16-x^{2}} (16-x^{2})\,dy = (16-x^{2})\cdot \bigl[y\bigr]_{0}^{16-x^{2}} = (16-x^{2})\cdot(16-x^{2})=(16-x^{2})^{2}.
Portanto a integral reduz-se a uma integral única em x:
V=\int_{0}^{4} (16-x^{2})^{2}\,dx.

Passo 5

Expandir o integrando e integrar termo a termo:
  • Primeiro expando (16-x^{2})^{2}:
(16-x^{2})^{2}=256-32x^{2}+x^{4}.
  • Agora integro de 0 a 4:
V=\int_{0}^{4} (256-32x^{2}+x^{4})\,dx = \left[256x-\frac{32}{3}x^{3}+\frac{1}{5}x^{5}\right]_{0}^{4}.
  • Avaliando em x=4 (e em 0 dá zero):
    Calcule cada termo:
256\cdot 4 = 1024,
\frac{32}{3}\cdot 4^{3}=\frac{32}{3}\cdot 64=\frac{2048}{3},
\frac{1}{5}\cdot 4^{5}=\frac{1}{5}\cdot 1024=\frac{1024}{5}.
Logo
V=1024-\frac{2048}{3}+\frac{1024}{5}.

Passo 6

Somar as frações para obter o valor final:
  • Coloco tudo sobre o denominador comum 15:
1024=\frac{15360}{15},\qquad \frac{2048}{3}=\frac{10240}{15},\qquad \frac{1024}{5}=\frac{3072}{15}.
  • Então
V=\frac{15360}{15}-\frac{10240}{15}+\frac{3072}{15}=\frac{15360-10240+3072}{15}=\frac{8192}{15}.
  • Resultado final: V=\dfrac{8192}{15}.

Resposta

\dfrac{8192}{15}

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