(1.0) Esboce a região no primeiro quadrante limitada pelas retas x=0 e y=x e a curva y=2-x^{2}. Em seguida, expresse a área da região como uma integral dupla iterada e avalie a integral.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) esboçar a região no primeiro quadrante limitada por x=0, y=x e y=2-x^{2}; (b) expressar a área dessa região como uma integral dupla iterada e avaliar a integral.
Informações dadas e relevantes:
\;x=0 (eixo y);
\;y=x (reta que passa pela origem com inclinação 1);
\;y=2-x^{2} (parábola voltada para baixo, com vértice em (0,2));
a região está no primeiro quadrante, então \;x\ge 0 e \;y\ge 0.

Passo 2

A primeira coisa prática é encontrar onde a reta e a parábola se intersectam — esse ponto vai limitar a região. Para isso, igualamos as duas curvas:
x = 2 - x^{2}.
Rearranjando,
x^{2} + x - 2 = 0.
Isso é uma equação quadrática. Vamos resolver por fatoração: (x+2)(x-1)=0, logo as raízes são x=-2 e x=1. Como estamos no primeiro quadrante ( x\ge 0), só interessa x=1. Portanto o ponto de interseção relevante é (1,1) (substituímos x=1 em y=x ou em y=2-x^{2}).
Observação rápida sobre a forma das curvas (útil para esboço): a parábola tem vértice em (0,2) e cruza o eixo x em x=\pm\sqrt{2}. A reta y=x parte da origem e sobe. Entre x=0 e x=1 a parábola está acima da reta (por exemplo, em x=0 temos y_{\text{parábola}}=2á e y_{\text{reta}}=0), e em x=1 elas se encontram em y=1. Isso descreve a região: um “pedaço” entre a reta e a parábola para 0\le x\le 1, fechado à esquerda por x=0.

Passo 3

Para montar a integral dupla precisamos escolher uma ordem de integração. Vou usar a ordem dydx (integramos primeiro em y, depois em x) porque, para cada x fixo entre 0 e 1, y varia de forma simples: do valor sobre a reta até o valor sobre a parábola. Escrever isso explicitamente:
  • x varia de 0 até 1 (da coordenada vertical x=0 até a interseção em x=1).
  • Para cada x fixo em [0,1], y varia de y=x (reta, limite inferior) até y=2-x^{2} (parábola, limite superior).
Justificativa curta do porquê não usamos a ordem dxdy: seria possível, mas então as expressões para as fronteiras em x viriam da inversão das curvas (por exemplo x=y e x=\sqrt{2-y}), e o intervalo em y teria que ser dividido ou tratado com cuidado; a ordem dydx evita essa fragmentação e é mais direta.

Passo 4

A área de uma região R no plano pode ser escrita como a integral dupla da função constante 1 sobre R:
\text{Área}(R)=\iint_{R} 1\,dA.Á
Usando a ordenação escolhida ( dydx) e os limites identificados, a integral iterada que dá a área é
\text{Área}(R)=\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=x}^{\,2-x^{2}} 1\,dy\right)dx.Á

Passo 5

Agora avaliamo-la passo a passo. Primeiro fazemos a integral interna em y:
\int_{y=x}^{\,2-x^{2}} 1\,dy = \bigl[y\bigr]_{y=x}^{y=2-x^{2}} = (2-x^{2}) - x = 2 - x - x^{2}.
Então a integral vira uma integral simples em x:
\text{Área}(R)=\int_{0}^{1} \bigl(2 - x - x^{2}\bigr)\,dx.Á
Integramos termo a termo (lembrando: antiderivada de x^{n} é \tfrac{x^{n+1}}{n+1}):
\int_{0}^{1} 2\,dx = 2x\Big|_{0}^{1}=2,
\int_{0}^{1} x\,dx = \tfrac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{1}=\tfrac{1}{2},
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \tfrac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{1}=\tfrac{1}{3}.
Subtraindo os últimos dois da primeira:
\text{Área}(R)=2 - \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{3}.Á
Colocando em denominador comum 6:
2 = \tfrac{12}{6},\quad \tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{6},\quad \tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{6},
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\text{Área}(R)=\tfrac{12}{6}-\tfrac{3}{6}-\tfrac{2}{6}=\tfrac{7}{6}.Á

Resposta

Esboço: Região no primeiro quadrante entre x=0, a reta y=x e a parábola y=2-x^{2}, limitada horizontalmente por 0\le x\le 1 e verticalmente por x\le y\le 2-x^{2}.
Integral iterada: \displaystyle \int_{0}^{1}\!\!\int_{x}^{\,2-x^{2}} 1\,dy\,dx.
Área: \displaystyle \tfrac{7}{6}.

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