(1.0) Esboce a região no primeiro quadrante limitada pelas retas x=0 e y=x e a curva y=2-x^{2}. Em seguida, expresse a área da região como uma integral dupla iterada e avalie a integral.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) esboçar a região no primeiro quadrante limitada por x=0, y=x e y=2-x^{2}; (b) expressar a área dessa região como uma integral dupla iterada e avaliar a integral.
Informações dadas e relevantes: \;x=0 (eixo y); \;y=x (reta que passa pela origem com inclinação 1); \;y=2-x^{2} (parábola voltada para baixo, com vértice em (0,2));
a região está no primeiro quadrante, então \;x\ge 0 e \;y\ge 0.
Passo 2
A primeira coisa prática é encontrar onde a reta e a parábola se intersectam — esse ponto vai limitar a região. Para isso, igualamos as duas curvas:
x = 2 - x^{2}.
Rearranjando,
x^{2} + x - 2 = 0.
Isso é uma equação quadrática. Vamos resolver por fatoração: (x+2)(x-1)=0, logo as raízes são x=-2 e x=1. Como estamos no primeiro quadrante (x\ge 0), só interessa x=1. Portanto o ponto de interseção relevante é (1,1) (substituímos x=1 em y=x ou em y=2-x^{2}).
Observação rápida sobre a forma das curvas (útil para esboço): a parábola tem vértice em (0,2) e cruza o eixo x em x=\pm\sqrt{2}. A reta y=x parte da origem e sobe. Entre x=0 e x=1 a parábola está acima da reta (por exemplo, em x=0 temos y_{\text{parábola}}=2 e y_{\text{reta}}=0), e em x=1 elas se encontram em y=1. Isso descreve a região: um “pedaço” entre a reta e a parábola para 0\le x\le 1, fechado à esquerda por x=0.
Passo 3
Para montar a integral dupla precisamos escolher uma ordem de integração. Vou usar a ordem dydx (integramos primeiro em y, depois em x) porque, para cada x fixo entre 0 e 1, y varia de forma simples: do valor sobre a reta até o valor sobre a parábola. Escrever isso explicitamente:
x varia de 0 até 1 (da coordenada vertical x=0 até a interseção em x=1).
Para cada x fixo em [0,1], y varia de y=x (reta, limite inferior) até y=2-x^{2} (parábola, limite superior).
Justificativa curta do porquê não usamos a ordem dxdy: seria possível, mas então as expressões para as fronteiras em x viriam da inversão das curvas (por exemplo x=y e x=\sqrt{2-y}), e o intervalo em y teria que ser dividido ou tratado com cuidado; a ordem dydx evita essa fragmentação e é mais direta.
Passo 4
A área de uma região R no plano pode ser escrita como a integral dupla da função constante 1 sobre R:
\text{Área}(R)=\iint_{R} 1\,dA.
Usando a ordenação escolhida (dydx) e os limites identificados, a integral iterada que dá a área é
Esboço: Região no primeiro quadrante entre x=0, a reta y=x e a parábola y=2-x^{2}, limitada horizontalmente por 0\le x\le 1 e verticalmente por x\le y\le 2-x^{2}.
Integral iterada: \displaystyle \int_{0}^{1}\!\!\int_{x}^{\,2-x^{2}} 1\,dy\,dx.
Área: \displaystyle \tfrac{7}{6}.