Uma placa fina e muito grande está centralizada em um espaço de largura 0.06 m , preenchido com dois óleos de viscosidades diferentes acima e abaixo da placa. Uma das viscosidades é o dobro da outra. Quando a placa é puxada com velocidade constante de 0.3 m/s, a força resultante por metro quadrado da placa devido ao cisalhamento viscoso em ambos os lados é 29 N/m². Calcule as viscosidades dos dois óleos.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que temos aqui. É um exercício de Mecânica dos Fluidos, mais especificamente de viscosidade e escoamento laminar entre placas.
Enunciado resumido: uma placa fica no meio de um espaço total de 0,06 m preenchido por dois óleos (um em cima, outro embaixo) com viscosidades diferentes. A viscosidade de um óleo é o dobro da do outro. A placa desliza com velocidade constante de 0,3 m/s, e a soma das forças de cisalhamento nos dois lados dá 29 N por metro quadrado. A gente precisa achar as duas viscosidades.
O que vamos usar:
  • A lei de Newton para fluidos newtonianos, que diz que a tensão de cisalhamento é
    .
  • Geometria: a placa está centralizada em 0,06 m, então cada camada de óleo tem espessura m.
  • A relação entre as viscosidades: .

Passo 2

Vamos escrever a tensão de cisalhamento em cada lado da placa. O perfil de velocidade é linear (escoamento entre placa móvel e parede fixa), então
dudy = Uh
onde m/s é a velocidade da placa e m.
  • No óleo 1 (viscosidade ), a tensão é
    .
  • No óleo 2 (viscosidade ), a tensão é
    .

Passo 3

De acordo com o enunciado, a soma das tensões dos dois lados vale 29 N/m²:
tau1 + tau2 = 29
Substituindo as expressões:
mu1Uh + mu2Uh = 29
Como mu1Uh + 2,mu1Uh = 29 Longrightarrow 3,mu1Uh = 29 , fica

Passo 4

Agora só falta isolar 3,mu10,30,03 = 29 Longrightarrow 3,mu1 times 10 = 29 Longrightarrow 30,mu1 = 29 Longrightarrow mu1 = 2930 approx 0,967;Pa·s . A gente sabe m/s e m, então
E daí

Resposta

Viscosidade do óleo mais “fino”: .
Viscosidade do óleo mais “grosso”:

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