Uma placa infinita possui densidade superficial de carga \sigma.
(a) Escolha uma superfície gaussiana adequada (cilindro atravessando a placa).
(b) Determine o fluxo elétrico através da superfície.
(c) Use a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico produzido pela placa.
(d) Explique por que o campo elétrico não depende da distância à placa.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: uma placa infinita com densidade superficial de carga \sigma (constante).
  • Perguntas:
    (a) escolher uma superfície gaussiana adequada;
    (b) determinar o fluxo elétrico através dessa superfície;
    (c) usar a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico produzido pela placa;
    (d) explicar por que o campo elétrico não depende da distância à placa.
  • Informação relevante extra: por ser a placa “infinita” a situação tem simetrias espaciais fortes (traslacional e reflexiva em relação ao plano da placa).

Passo 2

Escolha da superfície gaussiana (explicação passo a passo do porquê):
  • Vamos escolher um cilindro curto cujo eixo é perpendicular à placa, com as duas tampas planas paralelas à placa (o famoso “pillbox”). Denoto a área de cada tampa por A e a espessura total do cilindro por 2h. A placa corta o cilindro no seu plano médio (ou seja, a placa está no centro do pillbox).
  • Por que essa escolha? Dois argumentos de simetria (importante entender):
    1. Translacionalidade horizontal: a placa é infinita, então não existe nenhum ponto especial ao longo do plano — isto implica que o campo não pode depender de coordenadas paralelas à placa e só pode apontar na direção normal ao plano.
    2. Reflexão (paridade) através do plano: os dois lados da placa são equivalentes, logo o módulo do campo a uma distância z de cada lado deve ser o mesmo (apenas a direção muda se \sigma tiver sinal).
  • Conclusão prática: dentro do pillbox o campo elétrico tem direção perpendicular às tampas e tem módulo uniforme sobre cada tampa (pela simetria). Isso torna os cálculos de fluxo simples.

Passo 3

Cálculo do fluxo elétrico através da superfície escolhida:
  • O fluxo total é a integral de \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} sobre toda a superfície do cilindro: \Phi=\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\Phi_{\text{tampa superior}}+\Phi_{\text{tampa inferior}}+\Phi_{\text{lateral}}.
  • Pela simetria, sobre cada tampa o campo é perpendicular e aproximadamente uniforme, então: \Phi_{\text{tampa superior}}=E\cdot A, \qquad \Phi_{\text{tampa inferior}}=E\cdot A.(Aqui E é o módulo do campo na posição das tampas; os vetores normais das tampas são orientados para fora do cilindro, então cada contribuição é +EA se o campo aponta para fora em cada face.)
  • O fluxo pela superfície lateral é zero porque a superfície lateral é paralela ao campo (ou seja, \mathbf{E} é perpendicular ao vetor normal lateral), logo \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0 naquela parte.
  • Assim o fluxo total é \Phi=E A + E A + 0 = 2 E A.

Passo 4

Cálculo da carga encerrada pela superfície gaussiana:
  • A placa é idealmente infinitamente fina com densidade superficial \sigma, e somente a região da placa que está dentro da área A da interseção com o cilindro contribui para carga dentro do volume gaussiano.
  • Portanto a carga encerrada é Q_{\text{int}}=\sigma \, A.

Passo 5

Aplicação da Lei de Gauss para obter o campo:
  • A Lei de Gauss diz: \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
  • Substituindo o fluxo e a carga calculados: 2 E A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0}.
  • Cancelando A (área arbitrária, isto é importante: vale para qualquer A) obtemos: E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
  • Direção e sinal: o campo é perpendicular à placa; se \sigma>0 então o campo aponta para fora da placa em ambos os lados (isto é, afastando-se do plano). Se \sigma<0 aponta para o plano.

Passo 6

Interpretação física e resposta à parte (d): por que E não depende da distância à placa
  • Argumento direto pela Gauss: no cálculo usamos um pillbox cuja meia-espessura h podia ser qualquer valor; o resultado final E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} não depende de h. Como h representa a distância das tampas até a placa, isso mostra que o campo não depende da distância.
  • Intuição de simetria: a placa infinita tem translacional invariance ao longo do plano — não existe um ponto de referência que permita o campo variar com a distância paralela ao plano, e a reflexão em relação ao plano obriga o campo a ter mesmo módulo em qualquer z com sinal possivelmente trocado. Essas simetrias forçam o campo a ser função apenas de z e, pela aplicação da Gauss com um pillbox de espessura arbitrária, essa função tem de ser constante.
  • Verificação por superposição (um pouco de cálculo, útil para entender): considerar um disco de raio R e densidade \sigma. O campo no eixo a uma distância z do centro do disco é (derivação por anéis) E_z(R,z)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\right).Tomando o limite R\to\infty (disco que vira placa infinita) obtém-se \lim_{R\to\infty} E_z(R,z)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0},porque \displaystyle\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\to 0 quando R\to\infty. Isso mostra explicitamente que, na idealização de placa infinita, a dependência em z desaparece: as contribuições de regiões cada vez mais distantes compensam de modo que o campo resultante torna-se independente da distância.

Passo 7

Resumo do procedimento (dica para a prova)
  • Sempre procure a simetria do problema. Para placas infinitas, escolha um pillbox cujo eixo seja normal à placa: isso simplifica o fluxo.
  • Lembre-se de que a área A do pillbox é arbitrária; o cancelamento de A na Lei de Gauss é a chave para obter um E que não depende de detalhes geométricos como a espessura escolhida.
  • Respire fundo: em provas esse é um dos problemas clássicos e a solução correta é curta quando a simetria é bem explorada.

Resposta

(a) Superfície gaussiana: um cilindro curto (pillbox) com tampas planas de área A paralelas à placa e eixo perpendicular à placa.
(b) Fluxo através da superfície: \Phi=2 E A.
(c) Campo elétrico: \displaystyle E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}, perpendicular à placa (apontando para fora se \sigma>0).
(d) O campo não depende da distância porque a simetria da placa infinita obriga o campo a ser normal e igual em quaisquer distâncias, e a aplicação da Lei de Gauss com um pillbox de espessura arbitrária mostra que o resultado é independente da posição; equivalentemente, é o limite R\to\infty do campo de um disco de raio R, onde a dependência em z desaparece.

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