Uma placa infinita possui densidade superficial de carga
.
(a) Escolha uma superfície gaussiana adequada (cilindro atravessando a placa).
(b) Determine o fluxo elétrico através da superfície.
(c) Use a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico produzido pela placa.
(d) Explique por que o campo elétrico não depende da distância à placa.
(a) Escolha uma superfície gaussiana adequada (cilindro atravessando a placa).
(b) Determine o fluxo elétrico através da superfície.
(c) Use a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico produzido pela placa.
(d) Explique por que o campo elétrico não depende da distância à placa.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: uma placa infinita com densidade superficial de carga
(constante). - Perguntas:
(a) escolher uma superfície gaussiana adequada;
(b) determinar o fluxo elétrico através dessa superfície;
(c) usar a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico produzido pela placa;
(d) explicar por que o campo elétrico não depende da distância à placa. - Informação relevante extra: por ser a placa “infinita” a situação tem simetrias espaciais fortes (traslacional e reflexiva em relação ao plano da placa).
Passo 2
Escolha da superfície gaussiana (explicação passo a passo do porquê):
- Vamos escolher um cilindro curto cujo eixo é perpendicular à placa, com as duas tampas planas paralelas à placa (o famoso “pillbox”). Denoto a área de cada tampa por
e a espessura total do cilindro por . A placa corta o cilindro no seu plano médio (ou seja, a placa está no centro do pillbox). - Por que essa escolha? Dois argumentos de simetria (importante entender):
- Translacionalidade horizontal: a placa é infinita, então não existe nenhum ponto especial ao longo do plano — isto implica que o campo não pode depender de coordenadas paralelas à placa e só pode apontar na direção normal ao plano.
- Reflexão (paridade) através do plano: os dois lados da placa são equivalentes, logo o módulo do campo a uma distância
de cada lado deve ser o mesmo (apenas a direção muda se tiver sinal).
- Conclusão prática: dentro do pillbox o campo elétrico tem direção perpendicular às tampas e tem módulo uniforme sobre cada tampa (pela simetria). Isso torna os cálculos de fluxo simples.
Passo 3
Cálculo do fluxo elétrico através da superfície escolhida:
- O fluxo total é a integral de
sobre toda a superfície do cilindro: - Pela simetria, sobre cada tampa o campo é perpendicular e aproximadamente uniforme, então:
(Aqui é o módulo do campo na posição das tampas; os vetores normais das tampas são orientados para fora do cilindro, então cada contribuição é se o campo aponta para fora em cada face.) - O fluxo pela superfície lateral é zero porque a superfície lateral é paralela ao campo (ou seja,
é perpendicular ao vetor normal lateral), logo naquela parte. - Assim o fluxo total é
Passo 4
Cálculo da carga encerrada pela superfície gaussiana:
- A placa é idealmente infinitamente fina com densidade superficial
, e somente a região da placa que está dentro da área da interseção com o cilindro contribui para carga dentro do volume gaussiano. - Portanto a carga encerrada é
Passo 5
Aplicação da Lei de Gauss para obter o campo:
- A Lei de Gauss diz:
- Substituindo o fluxo e a carga calculados:
- Cancelando
(área arbitrária, isto é importante: vale para qualquer ) obtemos: - Direção e sinal: o campo é perpendicular à placa; se
então o campo aponta para fora da placa em ambos os lados (isto é, afastando-se do plano). Se aponta para o plano.
Passo 6
Interpretação física e resposta à parte (d): por que
não depende da distância à placa
- Argumento direto pela Gauss: no cálculo usamos um pillbox cuja meia-espessura
podia ser qualquer valor; o resultado final não depende de . Como representa a distância das tampas até a placa, isso mostra que o campo não depende da distância. - Intuição de simetria: a placa infinita tem translacional invariance ao longo do plano — não existe um ponto de referência que permita o campo variar com a distância paralela ao plano, e a reflexão em relação ao plano obriga o campo a ter mesmo módulo em qualquer
com sinal possivelmente trocado. Essas simetrias forçam o campo a ser função apenas de e, pela aplicação da Gauss com um pillbox de espessura arbitrária, essa função tem de ser constante. - Verificação por superposição (um pouco de cálculo, útil para entender): considerar um disco de raio
e densidade . O campo no eixo a uma distância do centro do disco é (derivação por anéis) Tomando o limite (disco que vira placa infinita) obtém-se porque quando . Isso mostra explicitamente que, na idealização de placa infinita, a dependência em desaparece: as contribuições de regiões cada vez mais distantes compensam de modo que o campo resultante torna-se independente da distância.
Passo 7
Resumo do procedimento (dica para a prova)
- Sempre procure a simetria do problema. Para placas infinitas, escolha um pillbox cujo eixo seja normal à placa: isso simplifica o fluxo.
- Lembre-se de que a área
do pillbox é arbitrária; o cancelamento de na Lei de Gauss é a chave para obter um que não depende de detalhes geométricos como a espessura escolhida. - Respire fundo: em provas esse é um dos problemas clássicos e a solução correta é curta quando a simetria é bem explorada.
Resposta
(a) Superfície gaussiana: um cilindro curto (pillbox) com tampas planas de área
paralelas à placa e eixo perpendicular à placa.
(b) Fluxo através da superfície: .
(c) Campo elétrico: , perpendicular à placa (apontando para fora se
).
(d) O campo não depende da distância porque a simetria da placa infinita obriga o campo a ser normal e igual em quaisquer distâncias, e a aplicação da Lei de Gauss com um pillbox de espessura arbitrária mostra que o resultado é independente da posição; equivalentemente, é o limite do campo de um disco de raio
, onde a dependência em
desaparece.
(b) Fluxo através da superfície:
(c) Campo elétrico:
(d) O campo não depende da distância porque a simetria da placa infinita obriga o campo a ser normal e igual em quaisquer distâncias, e a aplicação da Lei de Gauss com um pillbox de espessura arbitrária mostra que o resultado é independente da posição; equivalentemente, é o limite