Um fio retilíneo muito longo possui densidade linear de carga \lambda.
(a) Escolha uma superficie gaussiana apropriada e justifique a escolha.
(b) Calcule o fluxo elétrico através da superfície.
(c) Use a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico a uma distância r do fio.
(d) Mostre como o campo varia com a distância.

Passo 1

O enunciado dá um fio retilíneo muito longo com densidade linear de carga \lambda e pede quatro coisas:
  • (a) escolher uma superfície gaussiana apropriada e justificar a escolha;
  • (b) calcular o fluxo elétrico através dessa superfície;
  • (c) usar a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico a uma distância r do fio;
  • (d) mostrar como o campo varia com a distância (dependência funcional).
Informações relevantes fornecidas:
  • O fio é muito longo (idealmente infinito) — isso sugere simetria ao longo do eixo do fio.
  • A densidade linear de carga do fio é \lambda (carga por unidade de comprimento).
  • A distância onde se quer o campo é r, medida radialmente a partir do eixo do fio.

Passo 2

Escolha da superfície gaussiana e justificativa (a).
Explicando o raciocínio com calma: quando um problema fala em “fio muito longo”, o que isso implica sobre o campo elétrico? Se o fio for idealmente infinito e uniformemente carregado, o campo elétrico não depende da posição ao longo do eixo do fio (direção longitudinal) nem do ângulo ao redor do fio — ele só depende da distância radial r até o eixo. Isso é chamado de simetria cilíndrica.
Uma superfície que “combina” com essa simetria é um cilindro coaxial com o fio:
  • Escolher um cilindro de raio r e comprimento L, com o eixo do cilindro coincidindo com o eixo do fio.
  • Variáveis: r = raio do cilindro (distância radial onde queremos o campo), L = comprimento arbitrário do cilindro (escolhido para facilitar contas; qualquer L serve e normalmente cancela depois).
Por que essa escolha é boa?
  • Em toda a superfície lateral do cilindro a magnitude do campo é a mesma (por simetria) e o campo é perpendicular à superfície lateral (apontando radialmente para fora ou para dentro).
  • Nas tampas (faces planas) do cilindro o vetor normal é paralelo ao eixo do fio, enquanto o campo é radial, logo o produto escalar \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} nas tampas é zero.
    Essa combinação simplifica muito o cálculo do fluxo.

Passo 3

Conceitos necessários: fluxo elétrico e Lei de Gauss — uma pequena aula.
  • Fluxo elétrico através de uma superfície é a integral do produto escalar entre o campo elétrico e o elemento de área:
\Phi = \int_{\text{superfície}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}.í
Aqui d\mathbf{A} é um vetor cuja magnitude é a área do pequeno elemento e cuja direção é o vetor normal externo à superfície.
  • A Lei de Gauss diz que o fluxo total através de uma superfície fechada é igual à carga total interna dividida pela permissividade do vácuo:
\Phi = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}.
Aqui Q_{\text{enc}} é a carga contida dentro da superfície fechada e \epsilon_0 é a constante \emph{perm. do espaço livre}.
Explicando \epsilon_0: é uma constante física que relaciona unidades elétricas no vácuo (valor numérico \epsilon_0\approx 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{C}^2/(\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2)), mas para a derivação simbólica basta mantê-la como \epsilon_0.

Passo 4

Calcular o fluxo através da superfície escolhida (b).
Particionamos a superfície do cilindro em três partes: superfície lateral (curvada) e duas tampas (superfícies planas nas extremidades). Vamos calcular o fluxo em cada parte:
  1. Superfície lateral:
  • Em toda a lateral o campo tem direção radial e, por simetria, a magnitude E(r) é a mesma.
  • O elemento de área da lateral é dA = r\,d\theta\,dz, mas a área total lateral é mais simples de lembrar: A_{\text{lateral}} = 2\pi r L.
  • O ângulo entre \mathbf{E} e d\mathbf{A} na lateral é zero (ambos radiais), então \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\,dA.
    Logo o fluxo pela lateral é
\Phi_{\text{lateral}} = E(r)\cdot 2\pi r L.
  1. Tampas (extremidades planas):
  • Em cada tampa o vetor normal é paralelo ao eixo do cilindro; o campo é radial (perpendicular ao eixo). Portanto \mathbf{E} é perpendicular ao vetor normal das tampas e o produto escalar é zero.
  • Assim,
\Phi_{\text{tampas}} = 0.
Portanto o fluxo total através da superfície gaussiana é
\Phi = \Phi_{\text{lateral}} + \Phi_{\text{tampas}} = E(r)\,2\pi r L.

Passo 5

Calcular a carga enclausurada Q_{\text{enc}}.
A densidade linear de carga \lambda significa carga por unidade de comprimento: para um trecho de comprimento L do fio, a carga total dentro do cilindro é
Q_{\text{enc}} = \lambda L.
Isso vem diretamente da definição de densidade linear: carga = \lambda\times comprimento.

Passo 6

Aplicar a Lei de Gauss e resolver para E(r) (c).
Agora igualamos o fluxo calculado ao quociente carga/perm.:
E(r)\,2\pi r L = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0} = \frac{\lambda L}{\epsilon_0}.
Simplificando (cancela L em ambos os lados porque o campo não depende do comprimento escolhido):
E(r)\,2\pi r = \frac{\lambda}{\epsilon_0}.
Isolando E(r):
E(r) = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0\, r}.
Direção: o campo é radial, saindo do fio se \lambda>0 (vetor \mathbf{E} = E(r)\,\hat{r}) e apontando para o fio se \lambda<0 (vetor \mathbf{E} = E(r)\,(-\hat{r})).

Passo 7

Interpretação da dependência com a distância (d).
A expressão encontrada mostra que
E(r)\propto \frac{1}{r}.
Ou seja, a magnitude do campo elétrico diminui inversamente proporcional à distância radial r. Intuição física simples: num fio muito longo as linhas de campo se “espalham” ao redor do fio ao longo de uma circunferência de comprimento 2\pi r; como a quantidade de carga por comprimento é fixa, a densidade superficial de linhas de campo (e portanto o campo) cai como 1/(2\pi r).
Comparação rápida: para uma carga pontual a queda é \propto 1/r^2; aqui, por causa da geometria cilíndrica (as linhas se espalham em uma circunferência), a queda é mais fraca, \propto 1/r.

Passo 8

Observações finais e limites.
  • Para \lambda>0 o campo aponta radialmente para fora; para \lambda<0 aponta para dentro.
  • No limite r\to 0 a expressão diverge; isso é um artefato do modelo de fio idealizado como “linha” com raio zero. Fios reais têm raio finito e o campo no interior do material conductor (se condutor) terá comportamento diferente.
  • A escolha do comprimento L foi arbitrária; o fato de L se cancelar reforça que a expressão é válida para o campo em qualquer ponto a distância r do fio infinito.

Resposta

(a) Cilindro coaxial de raio r e comprimento L, com eixo coincidindo com o fio; justificação: simetria cilíndrica (campo radial, independente de \theta e de z).
(b) Fluxo através da superfície: \Phi = E(r)\,2\pi r L, e pela Lei de Gauss \Phi = \dfrac{\lambda L}{\epsilon_0}.
(c) Campo elétrico a distância r: \displaystyle E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0\,r} (direção radial, \mathbf{E}=E(r)\,\hat{r}).
(d) Variação com a distância: E(r)\propto 1/r (decai inversamente proporcional a r).

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