Um fio retilíneo muito longo possui densidade linear de carga
.
(a) Escolha uma superficie gaussiana apropriada e justifique a escolha.
(b) Calcule o fluxo elétrico através da superfície.
(c) Use a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico a uma distância
do fio.
(d) Mostre como o campo varia com a distância.
(a) Escolha uma superficie gaussiana apropriada e justifique a escolha.
(b) Calcule o fluxo elétrico através da superfície.
(c) Use a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico a uma distância
(d) Mostre como o campo varia com a distância.
Passo 1
O enunciado dá um fio retilíneo muito longo com densidade linear de carga
e pede quatro coisas:
- (a) escolher uma superfície gaussiana apropriada e justificar a escolha;
- (b) calcular o fluxo elétrico através dessa superfície;
- (c) usar a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico a uma distância
do fio; - (d) mostrar como o campo varia com a distância (dependência funcional).
Informações relevantes fornecidas:
- O fio é muito longo (idealmente infinito) — isso sugere simetria ao longo do eixo do fio.
- A densidade linear de carga do fio é
(carga por unidade de comprimento). - A distância onde se quer o campo é
, medida radialmente a partir do eixo do fio.
Passo 2
Escolha da superfície gaussiana e justificativa (a).
Explicando o raciocínio com calma: quando um problema fala em “fio muito longo”, o que isso implica sobre o campo elétrico? Se o fio for idealmente infinito e uniformemente carregado, o campo elétrico não depende da posição ao longo do eixo do fio (direção longitudinal) nem do ângulo ao redor do fio — ele só depende da distância radial até o eixo. Isso é chamado de simetria cilíndrica.
Explicando o raciocínio com calma: quando um problema fala em “fio muito longo”, o que isso implica sobre o campo elétrico? Se o fio for idealmente infinito e uniformemente carregado, o campo elétrico não depende da posição ao longo do eixo do fio (direção longitudinal) nem do ângulo ao redor do fio — ele só depende da distância radial
Uma superfície que “combina” com essa simetria é um cilindro coaxial com o fio:
- Escolher um cilindro de raio
e comprimento , com o eixo do cilindro coincidindo com o eixo do fio. - Variáveis:
= raio do cilindro (distância radial onde queremos o campo), = comprimento arbitrário do cilindro (escolhido para facilitar contas; qualquer serve e normalmente cancela depois).
Por que essa escolha é boa?
- Em toda a superfície lateral do cilindro a magnitude do campo é a mesma (por simetria) e o campo é perpendicular à superfície lateral (apontando radialmente para fora ou para dentro).
- Nas tampas (faces planas) do cilindro o vetor normal é paralelo ao eixo do fio, enquanto o campo é radial, logo o produto escalar
nas tampas é zero.
Essa combinação simplifica muito o cálculo do fluxo.
Passo 3
Conceitos necessários: fluxo elétrico e Lei de Gauss — uma pequena aula.
- Fluxo elétrico através de uma superfície é a integral do produto escalar entre o campo elétrico e o elemento de área:
Aqui
é um vetor cuja magnitude é a área do pequeno elemento e cuja direção é o vetor normal externo à superfície.
- A Lei de Gauss diz que o fluxo total através de uma superfície fechada é igual à carga total interna dividida pela permissividade do vácuo:
Aqui
é a carga contida dentro da superfície fechada e
é a constante \emph{perm. do espaço livre}.
Explicando
: é uma constante física que relaciona unidades elétricas no vácuo (valor numérico
), mas para a derivação simbólica basta mantê-la como
.
Passo 4
Calcular o fluxo através da superfície escolhida (b).
Particionamos a superfície do cilindro em três partes: superfície lateral (curvada) e duas tampas (superfícies planas nas extremidades). Vamos calcular o fluxo em cada parte:
Particionamos a superfície do cilindro em três partes: superfície lateral (curvada) e duas tampas (superfícies planas nas extremidades). Vamos calcular o fluxo em cada parte:
- Superfície lateral:
- Em toda a lateral o campo tem direção radial e, por simetria, a magnitude
é a mesma. - O elemento de área da lateral é
, mas a área total lateral é mais simples de lembrar: . - O ângulo entre
e na lateral é zero (ambos radiais), então .
Logo o fluxo pela lateral é
- Tampas (extremidades planas):
- Em cada tampa o vetor normal é paralelo ao eixo do cilindro; o campo é radial (perpendicular ao eixo). Portanto
é perpendicular ao vetor normal das tampas e o produto escalar é zero. - Assim,
Portanto o fluxo total através da superfície gaussiana é
Passo 5
Calcular a carga enclausurada
.
A densidade linear de carga significa carga por unidade de comprimento: para um trecho de comprimento
do fio, a carga total dentro do cilindro é
A densidade linear de carga
Isso vem diretamente da definição de densidade linear: carga =
comprimento.
Passo 6
Aplicar a Lei de Gauss e resolver para
(c).
Agora igualamos o fluxo calculado ao quociente carga/perm.:
Agora igualamos o fluxo calculado ao quociente carga/perm.:
Simplificando (cancela
em ambos os lados porque o campo não depende do comprimento escolhido):
Isolando
:
Direção: o campo é radial, saindo do fio se
(vetor
) e apontando para o fio se
(vetor
).
Passo 7
Interpretação da dependência com a distância (d).
A expressão encontrada mostra que
A expressão encontrada mostra que
Ou seja, a magnitude do campo elétrico diminui inversamente proporcional à distância radial
. Intuição física simples: num fio muito longo as linhas de campo se “espalham” ao redor do fio ao longo de uma circunferência de comprimento
; como a quantidade de carga por comprimento é fixa, a densidade superficial de linhas de campo (e portanto o campo) cai como
.
Comparação rápida: para uma carga pontual a queda é
; aqui, por causa da geometria cilíndrica (as linhas se espalham em uma circunferência), a queda é mais fraca,
.
Passo 8
Observações finais e limites.
- Para
o campo aponta radialmente para fora; para aponta para dentro. - No limite
a expressão diverge; isso é um artefato do modelo de fio idealizado como “linha” com raio zero. Fios reais têm raio finito e o campo no interior do material conductor (se condutor) terá comportamento diferente. - A escolha do comprimento
foi arbitrária; o fato de se cancelar reforça que a expressão é válida para o campo em qualquer ponto a distância do fio infinito.
Resposta
(a) Cilindro coaxial de raio
e comprimento
, com eixo coincidindo com o fio; justificação: simetria cilíndrica (campo radial, independente de
e de
).
(b) Fluxo através da superfície: , e pela Lei de Gauss
.
(c) Campo elétrico a distância :
(direção radial,
).
(d) Variação com a distância: (decai inversamente proporcional a
).
(b) Fluxo através da superfície:
(c) Campo elétrico a distância
(d) Variação com a distância: