Use a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico produzido por uma carga puntiforme
.
(a) Escolha uma superficie gaussiana adequada e justifique a escolha.
(b) Calcule o fluxo elétrico através da superfície.
(c) Use a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico em função da distância
.
(d) Mostre que o resultado obtido é equivalente à expressão da Lei de Coulomb.
(a) Escolha uma superficie gaussiana adequada e justifique a escolha.
(b) Calcule o fluxo elétrico através da superfície.
(c) Use a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico em função da distância
(d) Mostre que o resultado obtido é equivalente à expressão da Lei de Coulomb.
Passo 1
O enunciado pede para usar a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico produzido por uma carga puntiforme
. Especificamente pede quatro coisas separadas:
(a) escolher uma superfície gaussiana adequada e justificar a escolha;
(b) calcular o fluxo elétrico através dessa superfície;
(c) usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico em função da distância até a carga;
(d) mostrar que o resultado é equivalente à expressão da Lei de Coulomb.
(a) escolher uma superfície gaussiana adequada e justificar a escolha;
(b) calcular o fluxo elétrico através dessa superfície;
(c) usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico em função da distância
(d) mostrar que o resultado é equivalente à expressão da Lei de Coulomb.
Informações relevantes dadas (assumidas porque a questão é padrão):
- Há uma carga puntiforme de valor
localizada em um ponto (por convenção, tomo esse ponto como a origem). - Considera-se o meio como vácuo (constante elétrica
). - Quer-se o campo
em função da distância escalar a partir da carga.
Passo 2
Escolha da superfície gaussiana e justificativa (resposta de (a)).
Explicação didática da ideia: a escolha da superfície gaussiana deve explorar a simetria do problema para simplificar a integral de fluxo
. Uma carga puntiforme é perfeitamente esférica em simetria: todas as direções a partir da carga são equivalentes. Logo, faz sentido escolher uma superfície que respeite essa simetria.
Escolha concreta: uma esfera de raio
centrada na carga
.
Justificativa passo a passo e sem pular etapas:
- Em uma esfera centrada na carga, todos os pontos da superfície estão à mesma distância
da carga. Portanto o módulo do campo elétrico, se depender apenas da distância, será o mesmo em toda a superfície. - A direção do campo elétrico de uma carga pontual é radial (saindo da carga se
, apontando para a carga se ). Em cada ponto da esfera, o vetor normal de superfície também é radial (aponta para fora da esfera). Assim e são paralelos em cada ponto da superfície, o que torna o produto escalar simples de calcular. - Portanto a esfera permite retirar o módulo
fora da integral de superfície e reduzir o cálculo do fluxo a vezes a área da esfera.
Passo 3
Enunciado e explicação da Lei de Gauss e notação usada.
A Lei de Gauss (no vácuo) afirma:
onde:
-
é o fluxo elétrico total através da superfície fechada , i.e., a integral de superfície do produto escalar entre o campo elétrico e o vetor área elemento; -
é a carga total contida dentro da superfície ; -
é a permissividade do vácuo (constante física).
No nosso caso com a esfera centrada na carga,
. Vou explicar o que é cada símbolo do lado esquerdo:
-
é o vetor área elementar de módulo apontando para fora da superfície; para a esfera ele é radial. -
no ponto da superfície tem direção radial e módulo que depende apenas de .
Passo 4
Cálculo do fluxo elétrico através da superfície (resposta de (b)), com explicação passo a passo.
Em cada ponto da esfera
é paralelo a
, logo
(produto escalar reduzido ao produto dos módulos porque o ângulo é zero). Como
é constante sobre a esfera, pode-se tirar
fora da integral:
A integral de
sobre uma superfície esférica é simplesmente a área da esfera, que é
. Assim:
Portanto o fluxo elétrico através da esfera é
.
Passo 5
Aplicação da Lei de Gauss para determinar
(resposta de (c)), derivação algébrica detalhada.
Pela Lei de Gauss:
Já calculamos o lado esquerdo como
. Igualando,
Isolando
:
Isto é o módulo do campo elétrico. Para a forma vetorial, lembrando que o campo é radial (para fora quando
, para dentro quando
), escrevemos
onde
é o versor radial que aponta do centro (onde está a carga) para o ponto considerado. Se se quiser enfatizar o caso
, a direção é indicada automaticamente pelo sinal de
: quando
,
aponta para o centro (versor radial negativo).
Comentário didático: a dependência em
é esperada fisicamente porque a mesma “intensidade de linhas de campo” sai da carga e se espalha sobre uma área que cresce como
; portanto a densidade de campo cai como
.
Passo 6
Mostrar equivalência com a Lei de Coulomb (resposta de (d)) e interpretação.
A Lei de Coulomb para a força elétrica entre duas cargas pontuais
e
separadas por uma distância
na forma usual é
onde
é a constante eletrostática no vácuo. Definindo
como
tem-se
O campo elétrico criado pela carga
é, por definição,
. Dividindo a expressão da força por
obtém-se exatamente
que coincide com o resultado obtido por Gauss. Assim as duas formulações são equivalentes: Gauss fornece o campo diretamente explorando simetria; Coulomb fornece a força entre pares de cargas e, dividindo por uma carga teste, dá o mesmo campo.
Observação final e incentivo: você acabou de ver como a simetria simplifica tudo — com uma esfera bem colocada a integral vira uma conta de multiplicar e isolar. É normal ficar meio assustado no começo, mas essa é a técnica padrão para muitos problemas com simetria (esférica, cilíndrica, planar). Continua praticando que você pega o jeito rapidinho!
Resposta
(a) Superfície gaussiana: esfera de raio
centrada na carga
. Justificativa: coincide com a simetria esférica da carga puntiforme, fazendo
constante sobre a superfície e
paralelo a
.
(b) Fluxo elétrico: .
(c) Campo elétrico em função de :
(d) Equivalência com Coulomb: a Lei de Coulomb dá ; dividindo por
obtém-se
, igual ao resultado da Lei de Gauss.
(b) Fluxo elétrico:
(c) Campo elétrico em função de
(d) Equivalência com Coulomb: a Lei de Coulomb dá