Use a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico produzido por uma carga puntiforme Q.
(a) Escolha uma superficie gaussiana adequada e justifique a escolha.
(b) Calcule o fluxo elétrico através da superfície.
(c) Use a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico em função da distância r.
(d) Mostre que o resultado obtido é equivalente à expressão da Lei de Coulomb.

Passo 1

O enunciado pede para usar a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico produzido por uma carga puntiforme Q. Especificamente pede quatro coisas separadas:
(a) escolher uma superfície gaussiana adequada e justificar a escolha;
(b) calcular o fluxo elétrico através dessa superfície;
(c) usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico em função da distância r até a carga;
(d) mostrar que o resultado é equivalente à expressão da Lei de Coulomb.
Informações relevantes dadas (assumidas porque a questão é padrão):
  • Há uma carga puntiforme de valor Q localizada em um ponto (por convenção, tomo esse ponto como a origem).
  • Considera-se o meio como vácuo (constante elétrica \varepsilon_0).
  • Quer-se o campo \mathbf{E} em função da distância escalar r a partir da carga.

Passo 2

Escolha da superfície gaussiana e justificativa (resposta de (a)).
Explicação didática da ideia: a escolha da superfície gaussiana deve explorar a simetria do problema para simplificar a integral de fluxo \displaystyle \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}. Uma carga puntiforme é perfeitamente esférica em simetria: todas as direções a partir da carga são equivalentes. Logo, faz sentido escolher uma superfície que respeite essa simetria.
Escolha concreta: uma esfera de raio r centrada na carga Q.
Justificativa passo a passo e sem pular etapas:
  • Em uma esfera centrada na carga, todos os pontos da superfície estão à mesma distância r da carga. Portanto o módulo do campo elétrico, se depender apenas da distância, será o mesmo em toda a superfície.
  • A direção do campo elétrico de uma carga pontual é radial (saindo da carga se Q>0, apontando para a carga se Q<0). Em cada ponto da esfera, o vetor normal de superfície d\mathbf{A} também é radial (aponta para fora da esfera). Assim \mathbf{E} e d\mathbf{A} são paralelos em cada ponto da superfície, o que torna o produto escalar \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} simples de calcular.
  • Portanto a esfera permite retirar o módulo E(r) fora da integral de superfície e reduzir o cálculo do fluxo a E(r) vezes a área da esfera.

Passo 3

Enunciado e explicação da Lei de Gauss e notação usada.
A Lei de Gauss (no vácuo) afirma:
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde:
  • \displaystyle \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} é o fluxo elétrico total através da superfície fechada \mathcal{S}, i.e., a integral de superfície do produto escalar entre o campo elétrico e o vetor área elemento;
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície \mathcal{S};
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante física).
No nosso caso com a esfera centrada na carga, Q_{\text{int}}=Q. Vou explicar o que é cada símbolo do lado esquerdo:
  • d\mathbf{A} é o vetor área elementar de módulo dA apontando para fora da superfície; para a esfera ele é radial.
  • \mathbf{E} no ponto da superfície tem direção radial e módulo E(r) que depende apenas de r.

Passo 4

Cálculo do fluxo elétrico através da superfície (resposta de (b)), com explicação passo a passo.
Em cada ponto da esfera \mathbf{E} é paralelo a d\mathbf{A}, logo \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\,dA (produto escalar reduzido ao produto dos módulos porque o ângulo é zero). Como E(r) é constante sobre a esfera, pode-se tirar E(r) fora da integral:
\oint_{\text{esfera}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\oint_{\text{esfera}} dA.
A integral de dA sobre uma superfície esférica é simplesmente a área da esfera, que é 4\pi r^2. Assim:
\oint_{\text{esfera}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\cdot 4\pi r^2.
Portanto o fluxo elétrico através da esfera é \displaystyle \Phi_E = E(r)\,4\pi r^2.

Passo 5

Aplicação da Lei de Gauss para determinar E(r) (resposta de (c)), derivação algébrica detalhada.
Pela Lei de Gauss:
\oint_{\text{esfera}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}.
Já calculamos o lado esquerdo como E(r)\,4\pi r^2. Igualando,
E(r)\,4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}.
Isolando E(r):
E(r) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0\, r^2}.
Isto é o módulo do campo elétrico. Para a forma vetorial, lembrando que o campo é radial (para fora quando Q>0, para dentro quando Q<0), escrevemos
\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0\, r^2}\,\hat{r},
onde \hat{r} é o versor radial que aponta do centro (onde está a carga) para o ponto considerado. Se se quiser enfatizar o caso Q<0, a direção é indicada automaticamente pelo sinal de Q: quando Q<0, \mathbf{E} aponta para o centro (versor radial negativo).
Comentário didático: a dependência em 1/r^2 é esperada fisicamente porque a mesma “intensidade de linhas de campo” sai da carga e se espalha sobre uma área que cresce como r^2; portanto a densidade de campo cai como 1/r^2.

Passo 6

Mostrar equivalência com a Lei de Coulomb (resposta de (d)) e interpretação.
A Lei de Coulomb para a força elétrica entre duas cargas pontuais Q e q separadas por uma distância r na forma usual é
\mathbf{F} = k\,\frac{Qq}{r^2}\,\hat{r},
onde k é a constante eletrostática no vácuo. Definindo k como
k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0},
tem-se
\mathbf{F} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Qq}{r^2}\,\hat{r}.
O campo elétrico criado pela carga Q é, por definição, \mathbf{E} = \mathbf{F}/q. Dividindo a expressão da força por q obtém-se exatamente
\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}\,\hat{r},
que coincide com o resultado obtido por Gauss. Assim as duas formulações são equivalentes: Gauss fornece o campo diretamente explorando simetria; Coulomb fornece a força entre pares de cargas e, dividindo por uma carga teste, dá o mesmo campo.
Observação final e incentivo: você acabou de ver como a simetria simplifica tudo — com uma esfera bem colocada a integral vira uma conta de multiplicar e isolar. É normal ficar meio assustado no começo, mas essa é a técnica padrão para muitos problemas com simetria (esférica, cilíndrica, planar). Continua praticando que você pega o jeito rapidinho!

Resposta

(a) Superfície gaussiana: esfera de raio r centrada na carga Q. Justificativa: coincide com a simetria esférica da carga puntiforme, fazendo E constante sobre a superfície e \mathbf{E} paralelo a d\mathbf{A}.
(b) Fluxo elétrico: \displaystyle \Phi_E = \oint_{\text{esfera}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\,4\pi r^2.
(c) Campo elétrico em função de r: \displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\, r^2}\,\hat{r}.
(d) Equivalência com Coulomb: a Lei de Coulomb dá \displaystyle \mathbf{F}= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Qq}{r^2}\hat{r}; dividindo por q obtém-se \displaystyle \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}\hat{r}, igual ao resultado da Lei de Gauss.

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