Determine o módulo da força e o ponto de aplicação da menor carga adicional que deve ser aplicada à sapata da fundação para que a força resultante das cinco cargas passe pelo centro da sapata.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar (1) o módulo da menor carga adicional e (2) o ponto de aplicação dessa carga na sapata de fundação, de modo que a força resultante das cinco cargas passe pelo centro da sapata.
Informações que o problema precisa (mas que não foram fornecidas no enunciado recebido):
  • as magnitudes e as posições (coordenadas no plano da sapata) de todas as cargas já existentes (provavelmente são quatro) — para cada carga i é preciso F_i e (x_i,y_i);
  • a direção das cargas (normalmente, em sapatas, as cargas são verticais; preciso saber se são todas verticais e no mesmo sentido);
  • a localização do centro da sapata (posso tomar como origem O=(0,0) caso o centro seja o sistema de referência) e a geometria/limites da sapata (para saber onde é permitido aplicar a carga adicional — por exemplo, se a aplicação só pode ocorrer sobre a superfície da sapata, o ponto deve ficar dentro do retângulo/círculo que define a sapata).
Como essas informações numéricas e a figura/diagrama não foram fornecidas, não é possível calcular um valor numérico final. A seguir eu explico passo a passo o método completo, com todas as fórmulas e raciocínio, para que você aplique diretamente aos números do seu enunciado durante a prova.

Passo 2

Conceitos e definições que vamos usar (passo-a-passo, devagarzinho):
  • Definição de resultante de forças: a resultante é a soma vetorial das forças. Se todas as forças são verticais (eixo z), só precisamos somar seus módulos com sinal (para cima positivo, para baixo negativo). Chame de F_0 a soma das forças existentes:
F_0=\sum_{i=1}^{n}F_i.
Aqui F_i é o componente vertical da i-ésima carga; n é o número de cargas já existentes (antes de adicionar a quinta).
  • Momento em relação a um ponto (aqui, o centro O): o momento produzido por uma força vertical F_i aplicada no ponto (x_i,y_i) em relação ao centro O tem componente escalar (torque em torno do eixo perpendicular) dada por:
M_{0z}=\sum_{i=1}^{n} (x_i F_i)_y\\ \text{?}
Melhor escrever corretamente: para uma força vertical F_i aplicada em (x_i,y_i) (com F_i paralelo ao eixo z), o momento vetorial \mathbf{M}_i = \mathbf{r}_i\times \mathbf{F}_i tem apenas componentes no plano xy. Para a condição que queremos (resultado passar pelo centro) interessa anular o primeiro momento em relação ao centro, que se traduz nas duas equações escalares abaixo. Para simplificar, usaremos a formulação clássica de centroides ponderados: as coordenadas do ponto de aplicação da resultante (linha de ação) são as coordenadas médias ponderadas pelas forças.
  • Coordenadas do “centro de forças” (antes de adicionar a carga): defina
X_0=\sum_{i=1}^{n} x_i F_i,\qquad Y_0=\sum_{i=1}^{n} y_i F_i.
Esses são os primeiros momentos em x e y (momento estático). Se a resultante de todas as forças existentes F_0 for aplicada em um ponto (\bar x,\bar y), então
F_0 \bar x = X_0,\qquad F_0 \bar y = Y_0,
ou seja \bar x = X_0/F_0,\\ \bar y = Y_0/F_0. O objetivo é fazer com que, depois de adicionar a carga F_5 em (x_5,y_5), a resultante das cinco forças tenha linha de ação passando pelo centro O=(0,0). Isso equivale a exigir que os primeiros momentos resultantes em x e y em torno de O sejam nulos.

Passo 3

Escrever as equações para a carga adicional (assumindo forças verticais, que é o caso mais comum em sapatas):
  • Seja F_5 o módulo (assumido positivo; o sinal indica sentido, para baixo ou para cima) da carga adicional aplicada no ponto (x_5,y_5). As equações dos momentos somados em relação ao centro tornam-se
X_0 + F_5 x_5 = 0, \qquad Y_0 + F_5 y_5 = 0.
Essas duas equações vêm de exigir que o primeiro momento total seja zero: \sum x_i F_i + x_5 F_5 = 0 e \sum y_i F_i + y_5 F_5 = 0.
  • Essas duas equações implicam imediatamente que
F_5 x_5 = -X_0,\qquad F_5 y_5 = -Y_0.
Se (X_0,Y_0)=(0,0), então já não é necessária carga adicional: a resultante já passa pelo centro. Caso contrário, podemos manipular as equações para achar relação entre (x_5,y_5) e F_5.

Passo 4

Resolver as equações e achar a condição de mínimo módulo para F_5.
  • Das duas igualdades acima segue que os componentes de (x_5,y_5) são proporcionais a (-X_0,-Y_0). Ou seja, o ponto (x_5,y_5) deve ficar sobre a reta que passa pelo centro na direção do vetor (-X_0,-Y_0). Em termos vetoriais:
(x_5,y_5) = -\frac{1}{F_5}(X_0,Y_0).
  • Tome r_5=\sqrt{x_5^2+y_5^2} a distância do ponto de aplicação ao centro. Então, isolando F_5 a partir de uma das equações:
F_5 = \frac{\sqrt{X_0^2+Y_0^2}}{r_5}.
Isto é um passo importante: o módulo F_5 necessário é a magnitude do vetor (X_0,Y_0) dividido pela distância r_5 do ponto de aplicação ao centro.
  • Para minimizar F_5 (queremos a menor carga possível), devemos maximizar r_5 sujeito à restrição de que (x_5,y_5) esteja dentro da região permitida de aplicação (a superfície da sapata). Portanto:
    • escolha como ponto de aplicação o ponto mais distante do centro, na direção de (-X_0,-Y_0), mas que pertença à sapata. Em outras palavras, trace uma reta a partir do centro na direção do vetor (-X_0,-Y_0) e escolha o ponto de interseção dessa reta com a borda exterior da sapata; esse terá a maior r_5 nessa direção.
    • o menor F_5 será então
    F_{5,\min}=\frac{\sqrt{X_0^2+Y_0^2}}{r_{\max}},onde r_{\max} é a distância do centro até essa interseção (o ponto mais afastado na direção desejada).
  • As coordenadas desse ponto de aplicação serão
(x_5,y_5) = -r_{\max}\,\frac{(X_0,Y_0)}{\sqrt{X_0^2+Y_0^2}}.
Essas fórmulas dão tanto o módulo mínimo quanto o ponto onde aplicá-lo.

Passo 5

Como aplicar isso em provas (lista prática de passos que você pode executar à mão sem mistérios):
  1. Calcule F_0=\sum F_i, X_0=\sum x_i F_i e Y_0=\sum y_i F_i usando os dados do enunciado (lembre-se das unidades).
  2. Verifique primeiro se X_0=Y_0=0. Se sim, responda que não é necessária carga adicional.
  3. Calcule o vetor (X_0,Y_0) e sua magnitude \sqrt{X_0^2+Y_0^2}.
  4. Determine geometricamente a interseção da reta que parte do centro na direção de (-X_0,-Y_0) com a borda da sapata — isso fornece r_{\max}. Exemplos:
    • se a sapata for retangular centrada na origem com semi-eixos a (meio-largura em x) e b (meio-comprimento em y), a interseção na direção \theta tem distância
    r(\theta)=\min\!\left(\frac{a}{|\cos\theta|},\frac{b}{|\sin\theta|}\right).A direção \theta é a da reta (-X_0,-Y_0), i.e. \theta=\operatorname{atan2}(-Y_0,-X_0). O ponto que maximiza r nessa direção será tipicamente um dos cantos se a direção for aproximadamente para um canto; no caso retangular o ponto de interseção é fácil de achar com álgebra simples.
    • se a sapata for circular de raio R, então r_{\max}=R e o ponto de aplicação é simplesmente (x_5,y_5) = -R\,(X_0,Y_0)/\sqrt{X_0^2+Y_0^2}.
  5. Calcule F_{5,\min}=\dfrac{\sqrt{X_0^2+Y_0^2}}{r_{\max}} e as coordenadas (x_5,y_5) dadas acima.
  6. Verifique o sinal: se no enunciado a carga adicional só pode ser para baixo (por exemplo, cargas de peso aplicadas descendo), então F_{5,\min} deve respeitar esse sentido; caso a fórmula peça um F_5 de sinal contrário, isso significa que seria necessário uma força no sentido oposto (sustentação) — verifique se o enunciado permite força para cima ou apenas para baixo.

Passo 6

Casos especiais e observações úteis (essas pegadinhas aparecem em prova):
  • Se (X_0,Y_0)=(0,0), então F_{5}=0 (nenhuma carga adicional necessária). Diga isso claramente na resposta.
  • Se a reta na direção (-X_0,-Y_0) não intersecta a região permitida (por exemplo, se só for possível aplicar cargas dentro de uma sub-região não contendo essa direção), então o problema tem restrição adicional e o mínimo pode ocorrer em algum ponto de fronteira diferente; então é preciso fazer um problema de otimização com restrições (verifique o enunciado).
  • Se houver restrição de sentido (só cargas para baixo), a solução pode exigir que a carga mínima tenha sinal positivo; caso a fórmula dê valor negativo, conclua que não é possível com carga no sentido permitido.

Passo 7

Suponha, só como exemplo ilustrativo, que existam duas cargas já na sapata:
  • F_1=10 kN em (2,0) m,
  • F_2=15 kN em (-1,1) m,
    e a sapata seja circular com raio R=2{,}5 m. (Isto é um exemplo inventado para mostrar cálculos.)
    Calcule:
X_0=10\cdot 2 + 15\cdot (-1)=20-15=5\\ \text{kN}\cdot\text{m},
Y_0=10\cdot 0 + 15\cdot 1=15\\ \text{kN}\cdot\text{m},
\sqrt{X_0^2+Y_0^2}=\sqrt{5^2+15^2}=\sqrt{25+225}=\sqrt{250}\approx15{,}811\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Como a sapata é circular com r_{\max}=R=2{,}5 m,
F_{5,\min}=\frac{15{,}811}{2{,}5}\approx6{,}324\\ \text{kN}.
O ponto de aplicação (na borda, na direção oposta a (X_0,Y_0)) é
(x_5,y_5)=-2{,}5\,\frac{(5,15)}{\sqrt{250}} \approx -2{,}5\left(\frac{5}{15{,}811},\frac{15}{15{,}811}\right)\approx(-0{,}792,-2{,}376)\\ \text{m}.
Esse exemplo mostra exatamente como você vai fazer com os números do seu enunciado.

Resposta

Não é possível determinar numericamente o módulo e o ponto de aplicação da menor carga adicional porque o enunciado fornecido não contém as magnitudes e posições das cargas existentes nem a geometria/limites da sapata. Entretanto, o método geral é:
\;X_0=\sum x_iF_i,\;Y_0=\sum y_iF_i,\;F_{5,\min}=\dfrac{\sqrt{X_0^2+Y_0^2}}{r_{\max}}, e (x_5,y_5)=-r_{\max}\dfrac{(X_0,Y_0)}{\sqrt{X_0^2+Y_0^2}}, onde r_{\max} é a distância máxima do centro até a borda da sapata na direção de (-X_0,-Y_0).

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