Determine o módulo da força e o ponto de aplicação da menor carga adicional que deve ser aplicada à sapata da fundação para que a força resultante das cinco cargas passe pelo centro da sapata.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar (1) o módulo da menor carga adicional e (2) o ponto de aplicação dessa carga na sapata de fundação, de modo que a força resultante das cinco cargas passe pelo centro da sapata.
Informações que o problema precisa (mas que não foram fornecidas no enunciado recebido):
Informações que o problema precisa (mas que não foram fornecidas no enunciado recebido):
- as magnitudes e as posições (coordenadas no plano da sapata) de todas as cargas já existentes (provavelmente são quatro) — para cada carga i é preciso
e ; - a direção das cargas (normalmente, em sapatas, as cargas são verticais; preciso saber se são todas verticais e no mesmo sentido);
- a localização do centro da sapata (posso tomar como origem
caso o centro seja o sistema de referência) e a geometria/limites da sapata (para saber onde é permitido aplicar a carga adicional — por exemplo, se a aplicação só pode ocorrer sobre a superfície da sapata, o ponto deve ficar dentro do retângulo/círculo que define a sapata).
Como essas informações numéricas e a figura/diagrama não foram fornecidas, não é possível calcular um valor numérico final. A seguir eu explico passo a passo o método completo, com todas as fórmulas e raciocínio, para que você aplique diretamente aos números do seu enunciado durante a prova.
Passo 2
Conceitos e definições que vamos usar (passo-a-passo, devagarzinho):
- Definição de resultante de forças: a resultante é a soma vetorial das forças. Se todas as forças são verticais (eixo
), só precisamos somar seus módulos com sinal (para cima positivo, para baixo negativo). Chame de a soma das forças existentes:
Aqui
é o componente vertical da i-ésima carga;
é o número de cargas já existentes (antes de adicionar a quinta).
- Momento em relação a um ponto (aqui, o centro
): o momento produzido por uma força vertical aplicada no ponto em relação ao centro tem componente escalar (torque em torno do eixo perpendicular) dada por:
Melhor escrever corretamente: para uma força vertical
aplicada em
(com
paralelo ao eixo
), o momento vetorial
tem apenas componentes no plano
. Para a condição que queremos (resultado passar pelo centro) interessa anular o primeiro momento em relação ao centro, que se traduz nas duas equações escalares abaixo. Para simplificar, usaremos a formulação clássica de centroides ponderados: as coordenadas do ponto de aplicação da resultante (linha de ação) são as coordenadas médias ponderadas pelas forças.
- Coordenadas do “centro de forças” (antes de adicionar a carga): defina
Esses são os primeiros momentos em
e
(momento estático). Se a resultante de todas as forças existentes
for aplicada em um ponto
, então
ou seja
. O objetivo é fazer com que, depois de adicionar a carga
em
, a resultante das cinco forças tenha linha de ação passando pelo centro
. Isso equivale a exigir que os primeiros momentos resultantes em
e
em torno de
sejam nulos.
Passo 3
Escrever as equações para a carga adicional (assumindo forças verticais, que é o caso mais comum em sapatas):
- Seja
o módulo (assumido positivo; o sinal indica sentido, para baixo ou para cima) da carga adicional aplicada no ponto . As equações dos momentos somados em relação ao centro tornam-se
Essas duas equações vêm de exigir que o primeiro momento total seja zero:
e
.
- Essas duas equações implicam imediatamente que
Se
, então já não é necessária carga adicional: a resultante já passa pelo centro. Caso contrário, podemos manipular as equações para achar relação entre
e
.
Passo 4
Resolver as equações e achar a condição de mínimo módulo para
.
- Das duas igualdades acima segue que os componentes de
são proporcionais a . Ou seja, o ponto deve ficar sobre a reta que passa pelo centro na direção do vetor . Em termos vetoriais:
- Tome
a distância do ponto de aplicação ao centro. Então, isolando a partir de uma das equações:
Isto é um passo importante: o módulo
necessário é a magnitude do vetor
dividido pela distância
do ponto de aplicação ao centro.
- Para minimizar
(queremos a menor carga possível), devemos maximizar sujeito à restrição de que esteja dentro da região permitida de aplicação (a superfície da sapata). Portanto: - escolha como ponto de aplicação o ponto mais distante do centro, na direção de
, mas que pertença à sapata. Em outras palavras, trace uma reta a partir do centro na direção do vetor e escolha o ponto de interseção dessa reta com a borda exterior da sapata; esse terá a maior nessa direção. - o menor
será então
onde é a distância do centro até essa interseção (o ponto mais afastado na direção desejada). - escolha como ponto de aplicação o ponto mais distante do centro, na direção de
- As coordenadas desse ponto de aplicação serão
Essas fórmulas dão tanto o módulo mínimo quanto o ponto onde aplicá-lo.
Passo 5
Como aplicar isso em provas (lista prática de passos que você pode executar à mão sem mistérios):
- Calcule
, e usando os dados do enunciado (lembre-se das unidades). - Verifique primeiro se
. Se sim, responda que não é necessária carga adicional. - Calcule o vetor
e sua magnitude . - Determine geometricamente a interseção da reta que parte do centro na direção de
com a borda da sapata — isso fornece . Exemplos: - se a sapata for retangular centrada na origem com semi-eixos
(meio-largura em ) e (meio-comprimento em ), a interseção na direção tem distância
A direção é a da reta , i.e. . O ponto que maximiza nessa direção será tipicamente um dos cantos se a direção for aproximadamente para um canto; no caso retangular o ponto de interseção é fácil de achar com álgebra simples. - se a sapata for circular de raio
, então e o ponto de aplicação é simplesmente .
- se a sapata for retangular centrada na origem com semi-eixos
- Calcule
e as coordenadas dadas acima. - Verifique o sinal: se no enunciado a carga adicional só pode ser para baixo (por exemplo, cargas de peso aplicadas descendo), então
deve respeitar esse sentido; caso a fórmula peça um de sinal contrário, isso significa que seria necessário uma força no sentido oposto (sustentação) — verifique se o enunciado permite força para cima ou apenas para baixo.
Passo 6
Casos especiais e observações úteis (essas pegadinhas aparecem em prova):
- Se
, então (nenhuma carga adicional necessária). Diga isso claramente na resposta. - Se a reta na direção
não intersecta a região permitida (por exemplo, se só for possível aplicar cargas dentro de uma sub-região não contendo essa direção), então o problema tem restrição adicional e o mínimo pode ocorrer em algum ponto de fronteira diferente; então é preciso fazer um problema de otimização com restrições (verifique o enunciado). - Se houver restrição de sentido (só cargas para baixo), a solução pode exigir que a carga mínima tenha sinal positivo; caso a fórmula dê valor negativo, conclua que não é possível com carga no sentido permitido.
Passo 7
Suponha, só como exemplo ilustrativo, que existam duas cargas já na sapata:
-
kN em m, -
kN em m,
e a sapata seja circular com raiom. (Isto é um exemplo inventado para mostrar cálculos.)
Calcule:
Como a sapata é circular com
m,
O ponto de aplicação (na borda, na direção oposta a
) é
Esse exemplo mostra exatamente como você vai fazer com os números do seu enunciado.
Resposta
Não é possível determinar numericamente o módulo e o ponto de aplicação da menor carga adicional porque o enunciado fornecido não contém as magnitudes e posições das cargas existentes nem a geometria/limites da sapata. Entretanto, o método geral é:
, e
, onde
é a distância máxima do centro até a borda da sapata na direção de
.