Uma placa de metal está situada no plano xye ocupa o retângulo 0 \leq \mathrm{x} \leq 10,0 \leq \mathrm{y} \leq 8, onde x e ysão medidos em metros. A temperatura no ponto ( x, y ) do plano é T(x, y), onde T é medido em graus Celsius. Temperaturas em pontos igualmente espaçados foram medidas e registradas na tabela.
y
x
0 2 4 6 8
0 30 38 45 51 55
2 52 56 60 62 61
4 78 74 72 68 66
6 98 87 80 75 71
8 96 90 86 80 75
10 92 92 91 87 78
A) Qual é o valor de T(8,4) ? Qual é o seu significado?
B) Qual o significado da função h=T(6, y) ? Descreva seu comportamento.
C) Qual o significado da função h=T(x, 6) ? Descreva seu comportamento.

Passo 1

O enunciado dá uma placa no plano xy ocupando o retângulo 0\le x\le10,\;0\le y\le8 (metros) e uma tabela de temperaturas T(x,y) medidas em pontos igualmente espaçados com colunas y=0,2,4,6,8 e linhas x=0,2,4,6,8,10. As perguntas são:
A) Qual é o valor de T(8,4) e qual o seu significado?
B) Qual o significado da função h=T(6,y)? Descreva seu comportamento.
C) Qual o significado da função h=T(x,6)? Descreva seu comportamento.
Todas as informações numéricas necessárias estão na tabela fornecida (vou usar os valores dessa tabela nas etapas seguintes).

Passo 2

Como ler um valor da tabela (como li para encontrar T(8,4)): primeiro localizo a linha correspondente a x=8 e depois a coluna correspondente a y=4. Da tabela, na linha x=8 os valores para y=0,2,4,6,8 são, respectivamente, 96,\;90,\;86,\;80,\;75. Portanto peguei o dado da tabela: o valor na interseção x=8,\;y=4 é 86.
Significado físico de T(8,4): T(8,4) é a temperatura, em graus Celsius, no ponto da placa cuja coordenada é x=8 metros e y=4 metros. Ou seja, é a leitura direta da tabela naquele ponto.

Passo 3

Definição e interpretação de h(y)=T(6,y): ao fixar x=6 temos uma função de uma variável y. Isso significa: para cada posição ao longo da direção y na reta x=6 (ou seja, movendo-se paralelamente ao eixo y em x=6), h(y) dá a temperatura naquele ponto. Usei os dados da tabela na linha x=6: para y=0,2,4,6,8 os valores são 98,\;87,\;80,\;75,\;71 (peguei esses números da tabela).
Análise detalhada do comportamento de h(y)=T(6,y): listando os pares (y,h(y)) temos (0,98),\;(2,87),\;(4,80),\;(6,75),\;(8,71) (valores da tabela). Observações e interpretação:
  • h(y) é decrescente conforme y aumenta de 0 a 8. Isso significa que, ao subir no eixo y mantendo x=6, a temperatura diminui.
  • Podemos estimar a taxa média de variação (diferenças finitas) entre pontos consecutivos (passo de 2 m): \frac{87-98}{2}=-5,5\\ (\text{graus por metro}),\qquad \frac{80-87}{2}=-3,5,
\frac{75-80}{2}=-2,5,\qquad \frac{71-75}{2}=-2.
Esses números mostram que a temperatura cai mais rapidamente próximo a y=0 e a taxa de queda vai diminuindo (a queda desacelera) conforme y aumenta.
  • Domínio prático dos dados: y\in\{0,2,4,6,8\} (medidas). Entre esses pontos não sabemos o comportamento exato sem interpolação.

Passo 4

Definição e interpretação de h(x)=T(x,6): ao fixar y=6 temos uma função de x. Isso significa: para cada posição ao longo da direção x na reta y=6 (ou seja, movendo-se paralelamente ao eixo x em y=6), h(x) dá a temperatura naquele ponto. Usei os dados da tabela na coluna y=6: para x=0,2,4,6,8,10 os valores são 51,\;62,\;68,\;75,\;80,\;87 (peguei esses números da tabela).
Análise detalhada do comportamento de h(x)=T(x,6): listando (x,h(x)) temos (0,51),\;(2,62),\;(4,68),\;(6,75),\;(8,80),\;(10,87). Observações e interpretação:
  • h(x) é crescente conforme x aumenta de 0 a 10. Ou seja, ao mover-se na direção positiva de x mantendo y=6, a temperatura aumenta.
  • Taxas médias de variação entre pontos (passo de 2 m): \frac{62-51}{2}=5,5,\qquad \frac{68-62}{2}=3,
\frac{75-68}{2}=3,5,\qquad \frac{80-75}{2}=2,5,\qquad \frac{87-80}{2}=3,5
Esses números mostram que a subida da temperatura é mais rápida no início ( x pequeno), depois desacelera um pouco e varia, mas no geral há um aumento consistente.
  • Domínio prático dos dados: x\in\{0,2,4,6,8,10\}. Entre esses pontos, comportamento exato requer interpolação.

Resposta

A) T(8,4)=86^\circ\text{C}.
B) h(y)=T(6,y) é a temperatura ao longo da reta x=6 quando y varia; usando a tabela h(0)=98,\;h(2)=87,\;h(4)=80,\;h(6)=75,\;h(8)=71. A função é decrescente em 0\le y\le8, com queda mais rápida perto de y=0 e desaceleração da queda conforme y aumenta.
C) h(x)=T(x,6) é a temperatura ao longo da reta y=6 quando x varia; usando a tabela h(0)=51,\;h(2)=62,\;h(4)=68,\;h(6)=75,\;h(8)=80,\;h(10)=87. A função é crescente em 0\le x\le10, com taxa de aumento variável entre os trechos.

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