Uma placa fina de metal, localizada no plano xy, tem temperatura T no ponto ( \mathrm{x}, \mathrm{y} ) dada por:
\mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\frac{100}{1+\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}}
Com base nessa informação, resolva os itens abaixo:
A) Calcule a temperatura no centro da placa.
B) Calcule a temperatura no ponto (-1,-1) e (1,1).
C) As curvas de nível de T são chama das isotérmicas porque todos os pontos em uma dessas curvas têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura numa placa no plano xy por
T(x,y)=\frac{100}{1+x^{2}+y^{2}}.
As perguntas são:
A) Calcular a temperatura no centro da placa (ou seja, no ponto (0,0)).
B) Calcular a temperatura nos pontos (-1,-1) e (1,1).
C) Descrever e esboçar algumas isotérmicas (curvas de nível de T), isto é, traçar as curvas onde a temperatura é constante.
As informações relevantes que temos:
  • A fórmula explícita de T(x,y) mostrada acima.
  • Note que T depende apenas de x^{2}+y^{2} (ou seja, só da distância ao centro), o que é importante para as isotérmicas.

Passo 2

Vamos resolver o item A: temperatura no centro, ponto (0,0).
Substituímos x=0 e y=0 na fórmula. Faça comigo passo a passo:
T(0,0)=\frac{100}{1+0^{2}+0^{2}}=\frac{100}{1+0+0}=\frac{100}{1}=100.
Interpretação rápida: a fórmula dá T máxima no centro porque o denominador é mínimo em (0,0).

Passo 3

Agora o item B: temperatura nos pontos (-1,-1) e (1,1).
Primeiro calcule x^{2}+y^{2} para esses pontos. Para (-1,-1):
(-1)^{2}+(-1)^{2}=1+1=2.
Para (1,1):
1^{2}+1^{2}=1+1=2.
Como T depende apenas de x^{2}+y^{2}, esses dois pontos terão a mesma temperatura. Substituímos na fórmula:
T(1,1)=T(-1,-1)=\frac{100}{1+2}=\frac{100}{3}.
Podemos também dar a aproximação decimal:
\frac{100}{3}\approx 33{,}333\ldots

Passo 4

Item C: entender e obter as isotérmicas (curvas de nível).
Definição: uma isotérmica de valor \,T_{0}\, é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem
T(x,y)=T_{0}.
Substituindo a expressão de T obtemos a equação das isotérmicas:
\frac{100}{1+x^{2}+y^{2}}=T_{0}.
Agora isolamos x^{2}+y^{2}. Multiplicando ambos os lados por 1+x^{2}+y^{2} e dividindo por T_{0} (supondo T_{0}\neq0):
1+x^{2}+y^{2}=\frac{100}{T_{0}}
e então
x^{2}+y^{2}=\frac{100}{T_{0}}-1.
Isto mostra que cada isotérmica é um círculo centrado na origem com raio
r=\sqrt{\frac{100}{T_{0}}-1}.
Condição de validade: o lado direito precisa ser não negativo, logo
\frac{100}{T_{0}}-1\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad T_{0}\le 100.
Também T_{0}>0 porque a fórmula dá temperaturas positivas. Assim 0<T_{0}\le 100.

Passo 5

Exemplos concretos para esboçar algumas isotérmicas (vamos calcular raios para temperaturas típicas):
  • Para \,T_{0}=100:
r=\sqrt{\frac{100}{100}-1}=\sqrt{1-1}=\sqrt{0}=0.
Isto é só o ponto central (0,0).
  • Para \,T_{0}=50:
r=\sqrt{\frac{100}{50}-1}=\sqrt{2-1}=\sqrt{1}=1.
Isoterma: círculo de raio 1.
  • Para \,T_{0}=25:
r=\sqrt{\frac{100}{25}-1}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}\approx 1{,}732.
  • Para \,T_{0}=10:
r=\sqrt{\frac{100}{10}-1}=\sqrt{10-1}=\sqrt{9}=3.
  • Para \,T_{0}=\frac{100}{3} (o valor que apareceu em B, aproximadamente 33{,}333):
r=\sqrt{\frac{100}{100/3}-1}=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}\approx 1{,}414,
o que confirma que o ponto (1,1) com r=\sqrt{2} está nessa isotérmica.
Como esboçar (instruções práticas para a prova, sem régua sofisticada):
  • Desenhe o plano xy e marque o centro (0,0).
  • Trace círculos concêntricos com raios 0,1,\sqrt{2},\sqrt{3},3,\ldots conforme os valores acima.
  • Anote a temperatura correspondente a cada círculo; as temperaturas diminuem quando o raio aumenta (isso acontece porque T(r)=\dfrac{100}{1+r^{2}} é função decrescente de r). Para confirmar que é decrescente, pode derivar: se r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} então
\frac{d}{dr}\left(\frac{100}{1+r^{2}}\right)=-\frac{200r}{(1+r^{2})^{2}}<0\quad\text{para }r>0.
  • No esboço, use círculos espaçados: no centro a T=100, logo fora um círculo de T=50 em r=1, outro de T\approx 33{,}33 em r=\sqrt{2}, etc. Isso já dá uma boa representação das isotérmicas.

Resposta

A) T(0,0)=100.
B) T(-1,-1)=T(1,1)=\dfrac{100}{3}\approx 33{,}333\ldots
C) As isotérmicas são círculos centrados na origem dados por x^{2}+y^{2}=\dfrac{100}{T_{0}}-1 (com 0<T_{0}\le100). Exemplos: T_{0}=100\Rightarrow r=0; T_{0}=50\Rightarrow r=1; T_{0}=\dfrac{100}{3}\Rightarrow r=\sqrt{2}; T_{0}=25\Rightarrow r=\sqrt{3}; T_{0}=10\Rightarrow r=3.

Exercícios relacionados