Uma placa fina de metal, localizada no plano xy, tem temperatura T no ponto (
) dada por:
Com base nessa informação, resolva os itens abaixo:
A) Calcule a temperatura no centro da placa.
B) Calcule a temperatura no ponto
e
.
C) As curvas de nível de T são chama das isotérmicas porque todos os pontos em uma dessas curvas têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas.
A) Calcule a temperatura no centro da placa.
B) Calcule a temperatura no ponto
C) As curvas de nível de T são chama das isotérmicas porque todos os pontos em uma dessas curvas têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas.
Passo 1
O enunciado dá a temperatura numa placa no plano
por
As perguntas são:
A) Calcular a temperatura no centro da placa (ou seja, no ponto ).
B) Calcular a temperatura nos pontos e
.
C) Descrever e esboçar algumas isotérmicas (curvas de nível de ), isto é, traçar as curvas onde a temperatura é constante.
A) Calcular a temperatura no centro da placa (ou seja, no ponto
B) Calcular a temperatura nos pontos
C) Descrever e esboçar algumas isotérmicas (curvas de nível de
As informações relevantes que temos:
- A fórmula explícita de
mostrada acima. - Note que
depende apenas de (ou seja, só da distância ao centro), o que é importante para as isotérmicas.
Passo 2
Vamos resolver o item A: temperatura no centro, ponto
.
Substituímos
e
na fórmula. Faça comigo passo a passo:
Interpretação rápida: a fórmula dá
máxima no centro porque o denominador é mínimo em
.
Passo 3
Agora o item B: temperatura nos pontos
e
.
Primeiro calcule
para esses pontos. Para
:
Para
:
Como
depende apenas de
, esses dois pontos terão a mesma temperatura. Substituímos na fórmula:
Podemos também dar a aproximação decimal:
Passo 4
Item C: entender e obter as isotérmicas (curvas de nível).
Definição: uma isotérmica de valor
é o conjunto de pontos
que satisfazem
Substituindo a expressão de
obtemos a equação das isotérmicas:
Agora isolamos
. Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
(supondo
):
e então
Isto mostra que cada isotérmica é um círculo centrado na origem com raio
Condição de validade: o lado direito precisa ser não negativo, logo
Também
porque a fórmula dá temperaturas positivas. Assim
.
Passo 5
Exemplos concretos para esboçar algumas isotérmicas (vamos calcular raios para temperaturas típicas):
- Para
:
Isto é só o ponto central
.
- Para
:
Isoterma: círculo de raio
.
- Para
:
- Para
:
- Para
(o valor que apareceu em B, aproximadamente ):
o que confirma que o ponto
com
está nessa isotérmica.
Como esboçar (instruções práticas para a prova, sem régua sofisticada):
- Desenhe o plano
e marque o centro . - Trace círculos concêntricos com raios
conforme os valores acima. - Anote a temperatura correspondente a cada círculo; as temperaturas diminuem quando o raio aumenta (isso acontece porque
é função decrescente de ). Para confirmar que é decrescente, pode derivar: se então
- No esboço, use círculos espaçados: no centro a
, logo fora um círculo de em , outro de em , etc. Isso já dá uma boa representação das isotérmicas.
Resposta
A)
B)
C) As isotérmicas são círculos centrados na origem dados por (com
). Exemplos:
;
;
;
;
.
B)
C) As isotérmicas são círculos centrados na origem dados por