Uma placa de metal utilizada na estrutura de uma ponte tem formato trapezoidal com vértices em (0,0), (4,0), (3,2) e (1,2) metros. A densidade da placa varia com a altura segundo a função δ(x, y) = 8000(1+y) kg/m³. Calcule a massa total da placa, determine a coordenada y do centro de massa e calcule a densidade média da placa.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. Calcular a massa total da placa.
  2. Determinar a coordenada y do centro de massa (ou centroide de massa no eixo y).
  3. Calcular a densidade média da placa.
Informações dadas (tudo vindo do enunciado e da figura):
  • Os vértices da placa são (0,0), (4,0), (3,2) e (1,2).
  • A densidade superficial (varia com y) é \delta(x,y)=8000(1+y).
  • A placa é uma lâmina plana no plano xy, portanto para massa usamos integrais duplas sobre a região R ocupada pela placa.
Observação: eu usei diretamente as coordenadas fornecidas no enunciado e a função de densidade dada pela figura/enunciado.

Passo 2

Descrição do método (sem resolver ainda): para uma lâmina com densidade superficial \delta(x,y) a massa total é
M=\iint_{R}\delta(x,y)\,dA.
Para coordenada y do centro de massa usamos
\overline{y}=\frac{1}{M}\iint_{R} y\,\delta(x,y)\,dA.
A densidade média sobre a placa é a massa dividida pela área:
\delta_{\text{média}}=\frac{M}{A},é
onde A é a área da região R.
Agora precisamos parametrizar a região R usando limites de integração práticos. Observando os vértices, a placa ocupa 0\le y\le 2. Para cada y fixo, x varia entre a reta esquerda e a reta direita. Vamos encontrar essas funções x_{\text{esq}}(y) e x_{\text{dir}}(y).

Passo 3

Determinar as equações das retas laterais (usando os pontos dados):
  • Reta esquerda passa por (0,0) e (1,2). A inclinação em termos de x em função de y é \Delta x/\Delta y=(1-0)/(2-0)=\tfrac{1}{2}. Como em y=0 temos x=0, obtemos
x_{\text{esq}}(y)=\frac{y}{2}.
  • Reta direita passa por (4,0) e (3,2). A inclinação é \Delta x/\Delta y=(3-4)/(2-0)=-\tfrac{1}{2}. Como em y=0 temos x=4, obtemos
x_{\text{dir}}(y)=4-\frac{y}{2}.
Logo, para 0\le y\le 2 temos x variando de x_{\text{esq}}(y)=\tfrac{y}{2} até x_{\text{dir}}(y)=4-\tfrac{y}{2}.
Agora montamos a integral da massa com ordem dx\,dy:
M=\int_{y=0}^{2}\int_{x=\frac{y}{2}}^{4-\frac{y}{2}} 8000(1+y)\,dx\,dy.

Passo 4

Cálculo da massa: integramos primeiro em x. Como 8000(1+y) é independente de x,
\int_{x=\frac{y}{2}}^{4-\frac{y}{2}} 8000(1+y)\,dx = 8000(1+y)\left(4-\frac{y}{2}-\frac{y}{2}\right).
O comprimento horizontal para cada y é
4-\frac{y}{2}-\frac{y}{2}=4-y.
Portanto
M=8000\int_{0}^{2} (1+y)(4-y)\,dy.
Expandimos o integrando:
(1+y)(4-y)=4+3y-y^{2}.
Então
M=8000\int_{0}^{2} (4+3y-y^{2})\,dy.
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{2} (4+3y-y^{2})\,dy = \left[4y+\tfrac{3}{2}y^{2}-\tfrac{1}{3}y^{3}\right]_{0}^{2}.
Avaliação em y=2:
4\cdot 2 + \tfrac{3}{2}\cdot 2^{2} - \tfrac{1}{3}\cdot 2^{3} = 8 + 6 - \tfrac{8}{3} = \tfrac{34}{3}.
Logo
M=8000\cdot \tfrac{34}{3} = \tfrac{272000}{3}\\ \text{(unidades de massa)}.
Se preferir em decimal, \tfrac{272000}{3}\approx 90666{,}67.

Passo 5

Cálculo de \overline{y}. Fórmula:
\overline{y}=\frac{1}{M}\iint_{R} y\,\delta(x,y)\,dA = \frac{1}{M}\int_{0}^{2}\int_{\frac{y}{2}}^{4-\frac{y}{2}} y\cdot 8000(1+y)\,dx\,dy.
Como antes, integramos em x primeiro:
\iint_{R} y\,\delta\,dA = 8000\int_{0}^{2} y(1+y)(4-y)\,dy.
Expandimos y(1+y)(4-y) = y(4+3y-y^{2}) = 4y+3y^{2}-y^{3}. Então
\iint_{R} y\,\delta\,dA = 8000\int_{0}^{2} (4y+3y^{2}-y^{3})\,dy.
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{2} (4y+3y^{2}-y^{3})\,dy = \left[2y^{2}+y^{3}-\tfrac{1}{4}y^{4}\right]_{0}^{2}.
Avaliação em y=2:
2\cdot 2^{2} + 2^{3} - \tfrac{1}{4}2^{4} = 8 + 8 - 4 = 12.
Portanto o numerador é
\iint_{R} y\,\delta\,dA = 8000\cdot 12 = 96000.
Agora
\overline{y}=\frac{96000}{M}=\frac{96000}{\tfrac{272000}{3}} = \frac{96000\cdot 3}{272000} = \frac{288000}{272000}=\frac{18}{17}.
Em decimal \overline{y}\approx 1{,}05882\\ \text{m}.
Breve interpretação: \overline{y} ficou pouco acima de 1 porque a densidade aumenta com y (mais massa na parte superior), deslocando o centro de massa para cima em relação ao centro geométrico.

Passo 6

Cálculo da densidade média. Primeiro a área A da placa. Podemos calcular pela integral ou pela fórmula do trapézio. Pelo integral:
A=\int_{0}^{2}\left(4-y\right)\,dy = \left[4y-\tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{0}^{2} = 8-2 = 6\\ \text{m}^{2}.
(Conferindo com fórmula: área do trapézio com bases 4 e 2 e altura 2: \tfrac{4+2}{2}\cdot 2=6.)
A densidade média é
\delta_{\text{média}}=\frac{M}{A}=\frac{\tfrac{272000}{3}}{6}=\frac{272000}{18}=\frac{136000}{9}.é
Em decimal \delta_{\text{média}}\approx 15111{,}11é (unidade consistente com a densidade usada; aqui interpretamos \delta como massa por unidade de área).

Resposta

\displaystyle M=\frac{272000}{3}\\ \text{kg}\approx 90666{,}67\\ \text{kg}
\displaystyle \overline{y}=\frac{18}{17}\\ \text{m}\approx 1{,}05882\\ \text{m}
\displaystyle \delta_{\text{média}}=\frac{136000}{9}\\ \text{kg/m}^2\approx 15111{,}11\\ \text{kg/m}^2é

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