Uma placa de metal utilizada na estrutura de uma ponte tem formato trapezoidal com vértices em (0,0), (4,0), (3,2) e (1,2) metros. A densidade da placa varia com a altura segundo a função δ(x, y) = 8000(1+y) kg/m³. Calcule a massa total da placa, determine a coordenada y do centro de massa e calcule a densidade média da placa.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- Calcular a massa total da placa.
- Determinar a coordenada
do centro de massa (ou centroide de massa no eixo ). - Calcular a densidade média da placa.
Informações dadas (tudo vindo do enunciado e da figura):
- Os vértices da placa são
, , e . - A densidade superficial (varia com
) é . - A placa é uma lâmina plana no plano
, portanto para massa usamos integrais duplas sobre a região ocupada pela placa.
Observação: eu usei diretamente as coordenadas fornecidas no enunciado e a função de densidade dada pela figura/enunciado.
Passo 2
Descrição do método (sem resolver ainda): para uma lâmina com densidade superficial
a massa total é
Para coordenada
do centro de massa usamos
A densidade média sobre a placa é a massa dividida pela área:
onde
é a área da região
.
Agora precisamos parametrizar a região
usando limites de integração práticos. Observando os vértices, a placa ocupa
. Para cada
fixo,
varia entre a reta esquerda e a reta direita. Vamos encontrar essas funções
e
.
Passo 3
Determinar as equações das retas laterais (usando os pontos dados):
- Reta esquerda passa por
e . A inclinação em termos de em função de é . Como em temos , obtemos
- Reta direita passa por
e . A inclinação é . Como em temos , obtemos
Logo, para
temos
variando de
até
.
Agora montamos a integral da massa com ordem
:
Passo 4
Cálculo da massa: integramos primeiro em
. Como
é independente de
,
O comprimento horizontal para cada
é
Portanto
Expandimos o integrando:
Então
Integramos termo a termo:
Avaliação em
:
Logo
Se preferir em decimal,
.
Passo 5
Cálculo de
. Fórmula:
Como antes, integramos em
primeiro:
Expandimos
. Então
Integramos termo a termo:
Avaliação em
:
Portanto o numerador é
Agora
Em decimal
.
Breve interpretação:
ficou pouco acima de
porque a densidade aumenta com
(mais massa na parte superior), deslocando o centro de massa para cima em relação ao centro geométrico.
Passo 6
Cálculo da densidade média. Primeiro a área
da placa. Podemos calcular pela integral ou pela fórmula do trapézio. Pelo integral:
(Conferindo com fórmula: área do trapézio com bases
e
e altura
:
.)
A densidade média é
Em decimal
(unidade consistente com a densidade usada; aqui interpretamos
como massa por unidade de área).