Uma placa metálica de 8,0 \mathrm{~cm} de lado possui uma carga total de 6 \mu C. (a) Usando a aproximação de uma placa infinita, calcule o campo elétrico 0,50 \mathrm{~mm} acima da superfície da placa e próximo do seu centro. (b) estime o valor do campo a uma distância de 30 m .

Passo 1

O enunciado dá uma placa metálica quadrada de lado 8{,}0\:\mathrm{cm} com carga total 6\:\mu\mathrm{C}. Pede:
– (a) o campo elétrico a 0{,}50\:\mathrm{mm} acima do centro, usando a aproximação de placa infinita;
– (b) estimar o campo a 30\:\mathrm{m} de distância.
Para resolver usaremos:
  1. densidade de carga superficial \sigma = Q/A, com A = (\text{lado})^2;
  2. campo de uma placa infinita carregada:
E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0};
  1. para longo alcance, aproximar a placa como carga pontual:
E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}.

Passo 2

Calcular a área da placa e a densidade superficial de carga.
A = (0{,}08\:\mathrm{m})^2 = 0{,}0064\:\mathrm{m}^2, \qquad Q = 6\times10^{-6}\:\mathrm{C}.
\sigma = \frac{Q}{A} = \frac{6\times10^{-6}}{0{,}0064} \approx 9,375\times10^{-4}\:\mathrm{C/m}^2.

Passo 3

Usando o modelo de placa infinita, o campo em qualquer distância acima da superfície vale
E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0},
pois cada face de um condutor fino com carga total Q age como uma lâmina \sigma gerando \sigma/(2\varepsilon_0) para fora.

Passo 4

Substituindo valores numéricos (tomando \varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\:\mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}):
E = \frac{9,375\times10^{-4}}{2\cdot8,85\times10^{-12}} \approx 5{,}3\times10^{7}\:\mathrm{N/C}.
Esse valor independe da distância 0{,}50\:\mathrm{mm} enquanto a placa seja “muito grande” na aproximação.

Passo 5

A 30\:\mathrm{m}, a placa não mais se comporta como infinita; trata-se então como carga pontual:
E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2} = \frac{9{,}0\times10^{9}\times6\times10^{-6}}{(30)^2} \approx 60\:\mathrm{N/C}.

Resposta

(a) E\approx5{,}3\times10^{7}\:\mathrm{N/C} acima do centro a 0{,}50\:\mathrm{mm} usando placa infinita.
(b) E\approx60\:\mathrm{N/C} a 30\:\mathrm{m}, tratando a placa como carga pontual.

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