Uma casca cilíndrica de raio 7,00 \mathrm{~cm} e comprimento de 240 cm tem sua carga distribuída uniformemente sobre sua superfície curva. A magnitude do campo elétrico em um ponto radialmente distante 19,0 \mathrm{~cm} do seu eixo (medido a partir do centro da casca) é de 36,0 k N / C. Encontre (a) carga líquida sobre a casca e (b) o campo elétrico em um ponto a 4,00 \mathrm{~cm} do eixo,
medido radialmente para fora a partir do eixo da casca.

Passo 1

O enunciado descreve uma casca cilíndrica de raio externo R=7{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}07\\ \mathrm{m} e comprimento L=240\\ \mathrm{cm}=2{,}4\\ \mathrm{m}, com carga uniformemente distribuída sobre sua superfície curva. Pede-se (a) a carga total Q sabendo que o campo elétrico a r=19{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}19\\ \mathrm{m} do eixo é E=36{,}0\\ \mathrm{kN/C}=3{,}6\times10^4\\ \mathrm{N/C}, e (b) o campo em r=4{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}04\\ \mathrm{m}. Vamos usar a Lei de Gauss para cilindros com simetria radial.

Passo 2

Para r>R, enrolamos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento L. A Lei de Gauss diz
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_0}.
Aqui \mathbf{E} é radial e de módulo constante sobre a superfície lateral, e não há fluxo nas tampas, logo
E\,(2\pi r L) \;=\;\frac{\lambda\,L}{\varepsilon_0},
onde \lambda=Q/L é a densidade linear de carga.

Passo 3

Isolando \lambda obtemos
\lambda = E\,(2\pi\varepsilon_0\,r).
Substituindo E=3{,}6\times10^4\\ \mathrm{N/C}, r=0{,}19\\ \mathrm{m} e \varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}, temos
\lambda = 3{,}6\times10^4\;\bigl(2\pi\cdot8{,}85\times10^{-12}\cdot0{,}19\bigr) \approx1{,}90\times10^{-7}\\ \mathrm{C/m}.

Passo 4

A carga total da casca é
Q = \lambda\,L = (1{,}90\times10^{-7}\\ \mathrm{C/m})\,(2{,}4\\ \mathrm{m}) \approx9{,}13\times10^{-7}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Para r<R, qualquer superfície gaussiana de raio r não envolve carga (a carga está apenas na superfície a r=R). Logo Q_{\mathrm{enc}}=0 e
E\,(2\pi r L)=0 \quad\Longrightarrow\quad E=0\quad(\text{para }r<R).

Resposta

(a) Q\approx9{,}13\times10^{-7}\\ \mathrm{C}.
(b) E=0 para r=4{,}00\\ \mathrm{cm}.

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