Determine o fluxo líquido através do cubo do exercício 27. se o campo elétrico for dado por: (a) \vec{E}=3 y \hat{j} e (b) \vec{E}=-4 \hat{i}+(6+3 y) \hat{j}. (c) Em cada caso, qual é o valor da carga elétrica contida no interior do
cubo?

Passo 1

O enunciado pede o fluxo líquido
através de um cubo de aresta a (supondo-se, como é usual, que suas faces estejam em x=0 e x=a, y=0 e y=a, z=0 e z=a)
para dois campos elétricos dados, e em seguida a carga contida no interior,
sabendo que pela lei de Gauss
\Phi = \oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A} \quad\text{e}\quad Q_{\text{int}} = \varepsilon_{0}\,\Phi.
Usaremos o somatório dos fluxos nas seis faces do cubo.

Passo 2

Caso (a): \displaystyle \vec{E}=3\,y\,\hat{\jmath}.
– Faces em z: \vec{E} não tem componente em \hat{k} ⇒ fluxo zero.
– Faces em x: \vec{E} não tem componente em \hat{\imath} ⇒ fluxo zero.
– Faces em y:
  • em y=a, normal é +\hat{\jmath},
\Phi_{y=a} = E_{y}(y=a)\,\times a^{2} = (3a)\,a^{2} =3a^{3}.
  • em y=0, normal é -\hat{\jmath},
\Phi_{y=0} = E_{y}(y=0)\,(-1)\,a^{2} =0\cdot(-1)\,a^{2} =0.
Portanto,
\Phi_{(a)}=3a^{3}.

Passo 3

Caso (b): \displaystyle \vec{E}=-4\,\hat{\imath}+(6+3y)\,\hat{\jmath}.
– Faces em z: sem componente em \hat{k} ⇒ fluxo zero.
– Faces em x:
  • em x=a, normal +\hat{\imath}:
    \Phi_{x=a}=(-4)\,a^{2}=-4a^{2}.
  • em x=0, normal -\hat{\imath}:
    \Phi_{x=0}=(-4)\,(-1)\,a^{2}=+4a^{2}.
    Soma em x: -4a^{2}+4a^{2}=0.
    – Faces em y:
  • em y=a, normal +\hat{\jmath}:
    \Phi_{y=a}=(6+3a)\,a^{2}=6a^{2}+3a^{3}.
  • em y=0, normal -\hat{\jmath}:
    \Phi_{y=0}=6\,(-1)\,a^{2}=-6a^{2}.
    Soma em y: (6a^{2}+3a^{3})-6a^{2}=3a^{3}.
    Logo
\Phi_{(b)}=3a^{3}.

Passo 4

Pela lei de Gauss, Q_{\text{int}}=\varepsilon_{0}\,\Phi.
Assim, em cada caso
Q_{(a)}=\varepsilon_{0}\,3a^{3}, \qquad Q_{(b)}=\varepsilon_{0}\,3a^{3}.

Resposta

(a) \displaystyle \Phi=3a^{3}.
(b) \displaystyle \Phi=3a^{3}.
(c) Em ambos os casos \displaystyle Q_{\text{int}}=3\varepsilon_{0}a^{3}.

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