Uma placa com peso desprezivel fecha um furo com 305 mm de difinetro localizado na superficie superior de um tanque que contém ar e dgua. Um bloco de concreto,
com volume de
está suspenso na placa e permanece completamente imerso na agua. Note que a leitura diferencial no manômetro inclinado de mercúrio aumenta quando a pressto no ar aumenta. Calcule o valor dessa leitura no instante em que a placa começa a levantar do furo. Admita que a presença do ar no tanque não influi sobre a leitura no manômetro.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma placa que fecha um buraco de 305 mm de profundidade na superfície de um tanque cheio de ar e água. Um bloco de concreto com densidade de
e volume de
está suspenso na placa e está completamente imerso na água. Quando a pressão no ar aumenta, a leitura do manômetro de mercúrio também aumenta. Nosso objetivo é calcular essa leitura no momento em que a placa começa a se soltar do buraco. Para resolver isso, vamos usar conceitos de pressão hidrostática e equilíbrio de forças.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o peso do bloco de concreto. A massa $ m $ do bloco pode ser encontrada multiplicando a densidade $ \rho $ pelo volume $ V $:
Então, o peso $ P $ do bloco é:
Passo 3
Agora, vamos considerar a força de empuxo que age sobre o bloco. O empuxo $ E $ é dado pela fórmula:
Onde:
- $ \rho_{água} $ é a densidade da água (
), - $ V $ é o volume do bloco,
- $ g $ é a aceleração da gravidade.
Calculando o empuxo:
Passo 4
Para a placa começar a se soltar, a força resultante deve ser zero. Ou seja, o empuxo deve equilibrar o peso do bloco mais a pressão exercida pela placa. A pressão exercida pela placa $ P_{placa} $ pode ser relacionada à força $ F $ através da área $ A $ do furo:
Quando a placa está prestes a se soltar, a força total devido à pressão é igual à diferença entre o peso do bloco e o empuxo:
Passo 5
A área $ A $ do furo pode ser calculada a partir da profundidade do furo. Assumindo que o furo é circular, a área é:
Onde $ r $ é o raio do furo. Se a profundidade é 305 mm, precisamos saber o diâmetro ou o raio para calcular a área. Porém, como a profundidade não nos dá diretamente o raio, vamos supor que a profundidade está relacionada à altura do líquido sobre o furo.
A pressão hidrostática $ P $ é dada por:
Onde $ h $ é a altura da coluna de água, que aqui é 0,305 m.
Passo 6
Igualando a pressão hidrostática à pressão exercida pela placa:
Substituindo os valores:
Resolvendo para $ A $:
Passo 7
Agora, precisamos relacionar essa pressão com a leitura do manômetro de mercúrio. A diferença de altura no manômetro $ \Delta h $ é dada por:
Onde $ \rho_{Hg} $ é a densidade do mercúrio (
).
Substituindo os valores:
Resposta
A leitura do manômetro no instante em que a placa começa a se soltar do furo é de aproximadamente 22,5 mm.