(2,0 Pt) Um sólido cilíndrico homogêneo de comprimento muito maior que seu diâmetro contém inicialmente uma espécie A distribuída uniformemente. No instante \mathrm{t}=0, o cilindro é imerso em um meio externo onde a concentração superficial de A é mantida constante e igual a zero.
Dados:
  • Diâmetro =3 \mathrm{~cm}
  • \mathrm{R}=1,5 \mathrm{~cm}
  • Coeficiente de difusão: \mathrm{D}=8 \times 10^{-6} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}
  • Concentração média adimensional desejada: \theta=0,15
    onde:
  • \gamma_{\mathrm{n}} são as raízes de \mathrm{J} 0(\gamma \mathrm{n})=0

Passo 1

O enunciado pede que se determine o tempo necessário para que a concentração média adimensional dentro de um cilindro muito longo atinja \theta=0,15, dado que inicialmente a concentração é uniforme e, a partir de t=0, a superfície lateral do cilindro é mantida com concentração igual a zero.
Dados fornecidos:
  • Diâmetro =3\\ \mathrm{cm}.
  • Raio \;R=1{,}5\\ \mathrm{cm}.
  • Coeficiente de difusão \;D=8\times10^{-6}\\ \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s}.
  • Concentração média adimensional desejada \;\theta=0{,}15.
  • \gamma_n são as raízes de \;J_0(\gamma_n)=0 (raízes da função de Bessel de primeira espécie, ordem zero).
Pergunta a responder:
  • Calcular o tempo t (em segundos e em horas) tal que a concentração média adimensional \Theta(t)=0{,}15.

Passo 2

Modelo físico e equação governante (ideia geral).
  • Como o cilindro é “muito longo”, despreza-se variação axial e considera-se difusão radial 1D.
  • A equação de difusão (em coordenadas cilíndricas, independente de \theta e z) é
\frac{\partial C}{\partial t} = D\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\frac{\partial C}{\partial r}\right)\right).
  • Condições iniciais e de contorno (adotando C_0 como a concentração inicial uniforme):
C(r,0)=C_0\quad(0\le r\le R),
C(R,t)=0\quad(t>0),
C\\ \text{finito em }r=0.
  • A solução por separação de variáveis e expansão em autofunções (Bessel) leva a uma série com autovalores \gamma_n determinados por J_0(\gamma_n)=0.

Passo 3

Forma da solução e expressão para a concentração adimensional.
  • Definindo a concentração adimensional local \displaystyle u(r,t)=\frac{C(r,t)}{C_0}, a solução por séries é (resultado clássico)
u(r,t)=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{J_0\!\left(\gamma_n\frac{r}{R}\right)}{\gamma_n J_1(\gamma_n)}\exp\!\left(-\frac{D\gamma_n^2}{R^2}t\right),
onde J_0 e J_1 são funções de Bessel de primeira espécie, ordens zero e um, respectivamente, e \gamma_n são as raízes de J_0(\gamma)=0.
Explicação curta da origem dos coeficientes:
  • Para uma expansão em J_0(\gamma_n r/R) com normalização adequada, os coeficientes obtêm-se projetando a condição inicial e usando ortogonalidade das autofunções; isso gera o fator 2/(\gamma_n J_1(\gamma_n)).

Passo 4

Expressão para a concentração média adimensional sobre a seção transversal.
  • A média sobre a seção é
\Theta(t)=\frac{\overline{C}(t)}{C_0}=\frac{2}{R^2}\int_0^R u(r,t)\,r\,dr.
  • Substituindo a série e trocando soma e integral:
\Theta(t)=\frac{2}{R^2}\sum_{n=1}^\infty \frac{2}{\gamma_n J_1(\gamma_n)}\exp\!\left(-\frac{D\gamma_n^2}{R^2}t\right)\int_0^R J_0\!\left(\gamma_n\frac{r}{R}\right) r\,dr.
  • Avaliando a integral (usar a mudança de variável \rho=r/R e a identidade \int_0^1 J_0(\alpha \rho)\rho\,d\rho = \dfrac{J_1(\alpha)}{\alpha}) obtemos
\int_0^R J_0\!\left(\gamma_n\frac{r}{R}\right) r\,dr = R^2\frac{J_1(\gamma_n)}{\gamma_n}.
  • Substituindo, muitos fatores cancelam e sobra a expressão simples e muito usada:
\boxed{\Theta(t)=4\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\gamma_n^2}\exp\!\left(-\frac{D\gamma_n^2}{R^2}t\right).}
Comentário intuitivo: os coeficientes da média não envolvem J_1 porque a média “filtra” a dependência espacial, sobrando apenas termos em \gamma_n^{-2}.

Passo 5

Aproximação prática para encontrar t.
  • A série converge rápido: o primeiro termo ( n=1) domina para tempos moderados/longos. Portanto usa-se a aproximação de um termo:
\Theta(t)\approx \frac{4}{\gamma_1^2}\exp\!\left(-\frac{D\gamma_1^2}{R^2}t\right).
  • Resolver essa equação para t, impondo \Theta(t)=0{,}15:
0{,}15 = \frac{4}{\gamma_1^2}\exp\!\left(-\frac{D\gamma_1^2}{R^2}t\right).
Tomando logaritmo:
t = -\frac{R^2}{D\gamma_1^2}\ln\!\left(\frac{0{,}15\,\gamma_1^2}{4}\right).

Passo 6

Valores numéricos e cálculo.
  • Primeira raiz de J_0(\gamma)=0: \gamma_1\approx 2{,}4048.
  • Calcular \gamma_1^2:
\gamma_1^2 \approx (2{,}4048)^2 \approx 5{,}7832.
  • Calcular o prefator \dfrac{4}{\gamma_1^2}:
\frac{4}{\gamma_1^2}\approx \frac{4}{5{,}7832}\approx 0{,}6917.
  • Razão necessária dentro do log:
\frac{0{,}15}{4/\gamma_1^2} = \frac{0{,}15}{0{,}6917}\approx 0{,}2167.
  • Logaritmo:
\ln(0{,}2167)\approx -1{,}5289.
  • Calcular o fator \dfrac{R^2}{D\gamma_1^2}:
R^2 = (1{,}5)^2 = 2{,}25\\ \mathrm{cm}^2,
D\gamma_1^2 = 8\times10^{-6}\times 5{,}7832 \approx 4{,}6266\times10^{-5}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s},
\frac{R^2}{D\gamma_1^2} \approx \frac{2{,}25}{4{,}6266\times10^{-5}} \approx 4,8616\times10^{4}\\ \mathrm{s}.
  • Finalmente,
t \approx 4{,}8616\times10^{4}\times 1{,}5289 \approx 7{,}4308\times10^{4}\\ \mathrm{s}.
  • Converter para horas:
t \approx \frac{7{,}4308\times10^{4}}{3600}\approx 20{,}64\\ \mathrm{h}.

Passo 7

Verificação de consistência (checar contribuição de termos superiores).
  • Segundo termo: \gamma_2\approx 5{,}5201, \gamma_2^2\approx 30{,}47. Coeficiente 4/\gamma_2^2\approx0{,}1313.
  • Exponencial para n=2 com o t calculado: \exp\!\left(-\dfrac{D\gamma_2^2}{R^2}t\right) é da ordem de \exp(-8)\approx3\times10^{-4}, tornando o segundo termo \sim 4\times10^{-5}, isto é desprezível frente ao primeiro (que dá a maior parte de \theta=0{,}15). Logo a aproximação de um termo é adequada.
Comentário final amigável: deu trabalho, mas a conta bateu — levará cerca de um dia para a média cair até 15\% do valor inicial. Você mandou bem trazendo os dados; a parte técnica é exatamente usar a série de Bessel e perceber que o primeiro modo domina.

Resposta

t \approx 7{,}43\times10^{4}\\ \mathrm{s} \approx 20{,}64\\ \mathrm{h}

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