(2,0 Pt) Um sólido cilíndrico homogêneo de comprimento muito maior que seu diâmetro contém inicialmente uma espécie A distribuída uniformemente. No instante \mathrm{t}=0, o cilindro é imerso em um meio externo onde a concentração superficial de A é mantida constante e igual a zero.
Dados:
Diâmetro =3 \mathrm{~cm}
\mathrm{R}=1,5 \mathrm{~cm}
Coeficiente de difusão: \mathrm{D}=8 \times 10^{-6} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}
Concentração média adimensional desejada: \theta=0,15
onde:
\gamma_{\mathrm{n}} são as raízes de \mathrm{J} 0(\gamma \mathrm{n})=0
Passo 1
O enunciado pede que se determine o tempo necessário para que a concentração média adimensional dentro de um cilindro muito longo atinja \theta=0,15, dado que inicialmente a concentração é uniforme e, a partir de t=0, a superfície lateral do cilindro é mantida com concentração igual a zero.
Dados fornecidos:
Diâmetro =3\\ \mathrm{cm}.
Raio \;R=1{,}5\\ \mathrm{cm}.
Coeficiente de difusão \;D=8\times10^{-6}\\ \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s}.
Concentração média adimensional desejada \;\theta=0{,}15.
\gamma_n são as raízes de \;J_0(\gamma_n)=0 (raízes da função de Bessel de primeira espécie, ordem zero).
Pergunta a responder:
Calcular o tempo t (em segundos e em horas) tal que a concentração média adimensional \Theta(t)=0{,}15.
Passo 2
Modelo físico e equação governante (ideia geral).
Como o cilindro é “muito longo”, despreza-se variação axial e considera-se difusão radial 1D.
A equação de difusão (em coordenadas cilíndricas, independente de \theta e z) é
onde J_0 e J_1 são funções de Bessel de primeira espécie, ordens zero e um, respectivamente, e \gamma_n são as raízes de J_0(\gamma)=0.
Explicação curta da origem dos coeficientes:
Para uma expansão em J_0(\gamma_n r/R) com normalização adequada, os coeficientes obtêm-se projetando a condição inicial e usando ortogonalidade das autofunções; isso gera o fator 2/(\gamma_n J_1(\gamma_n)).
Passo 4
Expressão para a concentração média adimensional sobre a seção transversal.
Comentário intuitivo: os coeficientes da média não envolvem J_1 porque a média “filtra” a dependência espacial, sobrando apenas termos em \gamma_n^{-2}.
Passo 5
Aproximação prática para encontrar t.
A série converge rápido: o primeiro termo (n=1) domina para tempos moderados/longos. Portanto usa-se a aproximação de um termo:
t \approx 4{,}8616\times10^{4}\times 1{,}5289 \approx 7{,}4308\times10^{4}\\ \mathrm{s}.
Converter para horas:
t \approx \frac{7{,}4308\times10^{4}}{3600}\approx 20{,}64\\ \mathrm{h}.
Passo 7
Verificação de consistência (checar contribuição de termos superiores).
Segundo termo: \gamma_2\approx 5{,}5201, \gamma_2^2\approx 30{,}47. Coeficiente 4/\gamma_2^2\approx0{,}1313.
Exponencial para n=2 com o t calculado: \exp\!\left(-\dfrac{D\gamma_2^2}{R^2}t\right) é da ordem de \exp(-8)\approx3\times10^{-4}, tornando o segundo termo \sim 4\times10^{-5}, isto é desprezível frente ao primeiro (que dá a maior parte de \theta=0{,}15). Logo a aproximação de um termo é adequada.
Comentário final amigável: deu trabalho, mas a conta bateu — levará cerca de um dia para a média cair até 15\% do valor inicial. Você mandou bem trazendo os dados; a parte técnica é exatamente usar a série de Bessel e perceber que o primeiro modo domina.
Resposta
t \approx 7{,}43\times10^{4}\\ \mathrm{s} \approx 20{,}64\\ \mathrm{h}