(
Pt) Um componente gasoso A difunde através de um gás B estacionário em regime permanente ao longo da direção z . As frações molares de A nas faces de uma membrana são
e
. A pressão total é de 1 atm a 310 K . A concentração total é
coeficiente de difusão
. Determine o fluxo molar de
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o fluxo molar de
(em
) quando
difunde através de um gás
estacionário, em regime permanente, ao longo da direção
. Dados fornecidos (peguei exatamente do enunciado):
- Frações molares de
nas duas faces da membrana: e . - Pressão total:
(informação fornecida). - Temperatura:
(informação fornecida). - Concentração total informada:
. - Coeficiente de difusão binária:
.
O que se pede: calcular
, o fluxo molar de
, em
.
Observação importante (para não travar a resolução): o enunciado não fornece a espessura da membrana
. A fórmula geral dá
em função de
. Vou obter a expressão geral e, em seguida, apresentar o valor numérico por metro de espessura (isto é, tomarei
) — se na sua prova houver um valor específico de
, basta substituir na expressão final.
Passo 2
Formular a equação física que vamos usar — explicando didaticamente.
No caso de difusão binária, sob condições isobáricas, isotérmicas e em regime permanente, o fluxo molar de
relativo ao sistema de referência fixo satisfaz a relação (equação de conservação + lei de Fick com correção convectiva):
onde:
-
é o fluxo molar de (o que queremos), -
é a concentração total ( ), -
é o coeficiente de difusão binária ( ), -
é a fração molar de , -
é o fluxo molar total .
Explicação intuitiva: o primeiro termo
é a difusão de
relativa à mistura (lei de Fick), e o segundo termo
é o transporte convectivo (se houver fluxo total). Aqui é crucial usar a condição de que o gás
está estacionário: isso significa que o fluxo molar de
é zero,
. Então
Substituindo
na equação acima:
Isolando
obtém-se a equação diferencial que liga
e o gradiente de
:
Passo 3
Separar variáveis e preparar para integrar — explicando cada passo.
Reescrevendo para isolar os diferenciais:
Isto significa que, para um
constante (regime permanente implica fluxo constante ao longo de
), a variação logarítmica de
é proporcional à coordenada
. Vamos integrar entre as duas faces da membrana:
com
e
com
.
Passo 4
Integrar e obter a expressão explícita de
em função de
e das frações molares — passo a passo.
Integrando ambos os lados:
Avaliar as integrais:
e
Logo:
Isolando
:
Podemos também escrever de forma equivalente, trocando sinal no logaritmo:
Essa é a fórmula final geral: dá o fluxo molar de
em função de
.
Comentário didático: o
no denominador aparece porque, com
estacionário, a própria difusão de
cria um transporte convectivo que altera a forma do gradiente efetivo; a integração produz o logaritmo que é típico quando aparece um fator
no denominador.
Passo 5
Calcular o valor numérico da expressão com os dados fornecidos — mostrando cada conta cuidadosamente.
Primeiro calculo o argumento do logaritmo (peguei
e
do enunciado):
Então
O logaritmo natural é
Agora multiplico
por
(peguei ambos do enunciado):
Substituindo na fórmula geral:
Passo 6
Interpretação prática e valor final por metro de espessura.
- A expressão acima é a solução geral; se a membrana tiver espessura
, substitua em metros. - Como o enunciado não fornece
, apresento o valor numérico correspondente a (isto é, fluxo por metro de espessura — se precisar para outra , multiplique por ).
Tomando
:
Pequeno incentivo: é normal que o número fique pequeno — coeficientes de difusão são pequenos e concentrações também podem ser baixas; o importante é ter decorada a forma de integrar e lembrar do fator
quando o outro componente está estacionário.