( \mathbf{2 , 0} Pt) Um componente gasoso A difunde através de um gás B estacionário em regime permanente ao longo da direção z . As frações molares de A nas faces de uma membrana são \mathrm{y}_{\mathrm{A} 1}=0,17 e \mathrm{y}_{\mathrm{A} 2}=0,04. A pressão total é de 1 atm a 310 K . A concentração total é \mathrm{c}=0,0508 \mathrm{~mol} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{o} coeficiente de difusão \mathrm{D}_{\mathrm{AB}}=2,1 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}. Determine o fluxo molar de \mathrm{A}, \mathrm{em} \mathrm{mol} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~s}\right).

Passo 1

O enunciado pede para determinar o fluxo molar de A (em \mathrm{mol}/(\mathrm{m}^2\mathrm{s})) quando A difunde através de um gás B estacionário, em regime permanente, ao longo da direção z. Dados fornecidos (peguei exatamente do enunciado):
  • Frações molares de A nas duas faces da membrana: y_{A1}=0{,}17 e y_{A2}=0{,}04.
  • Pressão total: 1\\ \mathrm{atm} (informação fornecida).
  • Temperatura: 310\\ \mathrm{K} (informação fornecida).
  • Concentração total informada: c=0{,}0508\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3.
  • Coeficiente de difusão binária: D_{AB}=2{,}1\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
O que se pede: calcular N_A, o fluxo molar de A, em \mathrm{mol}/(\mathrm{m}^2\mathrm{s}).
Observação importante (para não travar a resolução): o enunciado não fornece a espessura da membrana L. A fórmula geral dá N_A em função de L. Vou obter a expressão geral e, em seguida, apresentar o valor numérico por metro de espessura (isto é, tomarei L=1\\ \mathrm{m}) — se na sua prova houver um valor específico de L, basta substituir na expressão final.

Passo 2

Formular a equação física que vamos usar — explicando didaticamente.
No caso de difusão binária, sob condições isobáricas, isotérmicas e em regime permanente, o fluxo molar de A relativo ao sistema de referência fixo satisfaz a relação (equação de conservação + lei de Fick com correção convectiva):
N_A = - c D_{AB} \frac{d y_A}{dz} + y_A N
onde:
  • N_A é o fluxo molar de A (o que queremos),
  • c é a concentração total ( \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3),
  • D_{AB} é o coeficiente de difusão binária ( \mathrm{m}^2/\mathrm{s}),
  • y_A é a fração molar de A,
  • N é o fluxo molar total N=N_A+N_B.
Explicação intuitiva: o primeiro termo -cD_{AB}\,dy_A/dz é a difusão de A relativa à mistura (lei de Fick), e o segundo termo y_A N é o transporte convectivo (se houver fluxo total). Aqui é crucial usar a condição de que o gás B está estacionário: isso significa que o fluxo molar de B é zero, N_B=0. Então
N = N_A + N_B = N_A + 0 = N_A.
Substituindo N=N_A na equação acima:
N_A = - c D_{AB} \frac{d y_A}{dz} + y_A N_A.
Isolando N_A obtém-se a equação diferencial que liga N_A e o gradiente de y_A:
N_A (1 - y_A) = - c D_{AB} \frac{d y_A}{dz}.

Passo 3

Separar variáveis e preparar para integrar — explicando cada passo.
Reescrevendo para isolar os diferenciais:
\frac{d y_A}{1 - y_A} = - \frac{N_A}{c D_{AB}}\, dz.
Isto significa que, para um N_A constante (regime permanente implica fluxo constante ao longo de z), a variação logarítmica de 1-y_A é proporcional à coordenada z. Vamos integrar entre as duas faces da membrana: z=0 com y_A=y_{A1} e z=L com y_A=y_{A2}.

Passo 4

Integrar e obter a expressão explícita de N_A em função de L e das frações molares — passo a passo.
Integrando ambos os lados:
\int_{y_{A1}}^{y_{A2}} \frac{d y_A}{1 - y_A} = -\frac{N_A}{c D_{AB}} \int_{0}^{L} dz.
Avaliar as integrais:
\int_{y_{A1}}^{y_{A2}} \frac{d y_A}{1 - y_A} = \left[-\ln(1 - y_A)\right]_{y_{A1}}^{y_{A2}} = \ln\!\left(\frac{1 - y_{A1}}{1 - y_{A2}}\right),
e
\int_{0}^{L} dz = L.
Logo:
\ln\!\left(\frac{1 - y_{A1}}{1 - y_{A2}}\right) = -\frac{N_A L}{c D_{AB}}.
Isolando N_A:
N_A = -\frac{c D_{AB}}{L}\;\ln\!\left(\frac{1 - y_{A1}}{1 - y_{A2}}\right).
Podemos também escrever de forma equivalente, trocando sinal no logaritmo:
N_A = \frac{c D_{AB}}{L}\;\ln\!\left(\frac{1 - y_{A2}}{1 - y_{A1}}\right).
Essa é a fórmula final geral: dá o fluxo molar de A em função de \,c, D_{AB}, L, y_{A1}, y_{A2}.
Comentário didático: o 1-y_A no denominador aparece porque, com B estacionário, a própria difusão de A cria um transporte convectivo que altera a forma do gradiente efetivo; a integração produz o logaritmo que é típico quando aparece um fator 1-y no denominador.

Passo 5

Calcular o valor numérico da expressão com os dados fornecidos — mostrando cada conta cuidadosamente.
Primeiro calculo o argumento do logaritmo (peguei y_{A1} e y_{A2} do enunciado):
1 - y_{A1} = 1 - 0{,}17 = 0{,}83, \qquad 1 - y_{A2} = 1 - 0{,}04 = 0{,}96.
Então
\frac{1 - y_{A2}}{1 - y_{A1}} = \frac{0{,}96}{0{,}83} \approx 1{,}1566.
O logaritmo natural é
\ln\!\left(\frac{1 - y_{A2}}{1 - y_{A1}}\right) \approx \ln(1{,}1566) \approx 0{,}1455.
Agora multiplico c por D_{AB} (peguei ambos do enunciado):
c\,D_{AB} = 0{,}0508\\ \mathrm{mol/m^3}\times 2{,}1\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s} = 1{,}0668\times10^{-6}\\ \mathrm{mol/(m\cdot s)}.
Substituindo na fórmula geral:
N_A = \frac{c D_{AB}}{L}\;\ln\!\left(\frac{1 - y_{A2}}{1 - y_{A1}}\right) = \frac{1{,}0668\times10^{-6}}{L}\times 0{,}1455 = \frac{1{,}552\times10^{-7}}{L}\\ \mathrm{mol/(m^2\\ s)}.

Passo 6

Interpretação prática e valor final por metro de espessura.
  • A expressão acima é a solução geral; se a membrana tiver espessura L, substitua L em metros.
  • Como o enunciado não fornece L, apresento o valor numérico correspondente a L=1\\ \mathrm{m} (isto é, fluxo por metro de espessura — se precisar para outra L, multiplique por 1/L).
Tomando L=1\\ \mathrm{m}:
N_A \approx 1{,}55\times10^{-7}\\ \mathrm{mol/(m^2\\ s)}.
Pequeno incentivo: é normal que o número fique pequeno — coeficientes de difusão são pequenos e concentrações também podem ser baixas; o importante é ter decorada a forma de integrar e lembrar do fator (1-y_A) quando o outro componente está estacionário.

Resposta

\,N_A \approx 1{,}55\times10^{-7}\\ \mathrm{mol/(m^{2}\,s)} (valor calculado para L=1\\ \mathrm{m}; para espessura L qualquer usar \;N_A=\dfrac{cD_{AB}}{L}\ln\!\big(\dfrac{1-y_{A2}}{1-y_{A1}}\big).)

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