Uma placa quadrada de lado
situada no plano
possui as seguintes condições de contorno:
- para
- para
De posse dessas informações obtenha o potencial eletrostático
na região limitada pela placa e que satisfaça as condições de contorno.
De posse dessas informações obtenha o potencial eletrostático
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma placa quadrada no plano xy com lado de comprimento
. Nas bordas laterais dessa placa (onde
e
), temos valores específicos para o potencial eletrostático
. Nosso objetivo é encontrar a expressão para
dentro dessa região que respeite essas condições de contorno. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente a equação de Laplace, que descreve como o potencial se comporta em regiões sem carga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em eletrostática, o potencial
em uma região sem cargas satisfaz a equação de Laplace, que é dada por:
No nosso caso bidimensional, isso se traduz em:
Essa equação nos diz que a soma das segundas derivadas parciais do potencial em relação a
e
é zero. Nosso trabalho é encontrar uma função
que satisfaça essa equação e as condições de contorno fornecidas.
Passo 3
Como as condições de contorno só são dadas para
e
, podemos supor que o potencial não depende de
, ou seja,
. Isso simplifica a equação de Laplace, já que a derivada em relação a
será zero:
Agora, nossa tarefa é resolver essa equação diferencial ordinária.
Passo 4
Resolvendo a equação
, integramos duas vezes em relação a
:
Primeira integração:
Segunda integração:
Onde
e
são constantes de integração que precisamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 5
Aplicando as condições de contorno para encontrar
e
:
-
Para
, : -
Para
, :
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora que temos
e
, substituímos de volta na expressão para
:
Podemos simplificar isso rearranjando os termos:
Resposta
O potencial eletrostático na região é dado por: