Uma placa retangular de 300 times 400 de massa 30 kg está suspensa por dois pinos A e B. Se o pino B for removido repentinamente, determine (a) a aceleração angular da placa e (b) os componentes da reaçäo no pino A imediatamente após o pino B ter sido removido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma placa retangular de 300 cm por 400 cm, com massa de 30 kg, que está pendurada por dois pinos, o A e o B. A pergunta quer que a gente descubra duas coisas: (a) a aceleração angular da placa quando o pino B é removido de repente, e (b) os componentes da reação no pino A nesse momento. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estática e dinâmica de corpos rígidos, principalmente torque e momentos de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a situação inicial. A placa está em equilíbrio quando os dois pinos estão sustentando ela. Quando removemos o pino B, a placa começa a girar em torno do pino A. Para encontrar a aceleração angular, precisamos calcular o torque que age sobre a placa e o momento de inércia da placa em relação ao pino A.

Passo 3

Vamos calcular o centro de massa da placa. Como a placa é retangular e homogênea, o centro de massa fica no centro geométrico. Então, as coordenadas do centro de massa em relação ao pino A são metade dos comprimentos: 150 cm (1,5 m) na direção x e 200 cm (2 m) na direção y.

Passo 4

Agora, vamos calcular o torque ( tau) causado pela força da gravidade em relação ao pino A. O torque é dado por:
tau = r times F
Onde r é a distância do centro de massa até o pino A e F é a força peso ( mg). O ângulo entre r e F é de 90°, então:
tau = r cdot F = m cdot g cdot d
Aqui, d é a distância perpendicular, que no caso é a coordenada y: 2 m.

Passo 5

Calculando o torque:
tau = 30 , kg cdot 9,81 , m/s² cdot 2 , m = 588,6 , N cdot m ²

Passo 6

Agora, precisamos calcular o momento de inércia ( I) da placa em relação ao pino A. Para uma placa retangular girando em torno de um dos cantos, o momento de inércia é:
I = 13 m (a² + b²) ²²
Onde a e b são os lados da placa.

Passo 7

Calculando o momento de inércia:
I = 13 cdot 30 , kg cdot (1,5² + 2²) , m² = 13 cdot 30 cdot (2,25 + 4) = 30 cdot 2,75 = 82,5 , kg cdot m² ²²²²

Passo 8

Agora, podemos usar a segunda lei de Newton para rotação:
tau = I cdot alpha
Onde alpha é a aceleração angular que queremos encontrar.

Passo 9

Resolvendo para alpha:
alpha = tauI = 588,682,5 approx 7,14 , rad/s² ²

Resposta

(a) A aceleração angular da placa é aproximadamente 7,14 , rad/s²².

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