Uma placa retangular de
de massa 30 kg está suspensa por dois pinos
e
. Se o pino
for removido repentinamente, determine (a) a aceleração angular da placa e (b) os componentes da reaçäo no pino
imediatamente após o pino
ter sido removido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma placa retangular de 300 cm por 400 cm, com massa de 30 kg, que está pendurada por dois pinos, o A e o B. A pergunta quer que a gente descubra duas coisas: (a) a aceleração angular da placa quando o pino B é removido de repente, e (b) os componentes da reação no pino A nesse momento. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estática e dinâmica de corpos rígidos, principalmente torque e momentos de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a situação inicial. A placa está em equilíbrio quando os dois pinos estão sustentando ela. Quando removemos o pino B, a placa começa a girar em torno do pino A. Para encontrar a aceleração angular, precisamos calcular o torque que age sobre a placa e o momento de inércia da placa em relação ao pino A.
Passo 3
Vamos calcular o centro de massa da placa. Como a placa é retangular e homogênea, o centro de massa fica no centro geométrico. Então, as coordenadas do centro de massa em relação ao pino A são metade dos comprimentos: 150 cm (1,5 m) na direção x e 200 cm (2 m) na direção y.
Passo 4
Agora, vamos calcular o torque (
) causado pela força da gravidade em relação ao pino A. O torque é dado por:
Onde
é a distância do centro de massa até o pino A e
é a força peso (
). O ângulo entre
e
é de 90°, então:
Aqui,
é a distância perpendicular, que no caso é a coordenada y: 2 m.
Passo 5
Calculando o torque:
Passo 6
Agora, precisamos calcular o momento de inércia (
) da placa em relação ao pino A. Para uma placa retangular girando em torno de um dos cantos, o momento de inércia é:
Onde
e
são os lados da placa.
Passo 7
Calculando o momento de inércia:
Passo 8
Agora, podemos usar a segunda lei de Newton para rotação:
Onde
é a aceleração angular que queremos encontrar.
Passo 9
Resolvendo para
:
Resposta
(a) A aceleração angular da placa é aproximadamente
.