Resolva as seguintes equações diferenciais:
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa resolver a equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem que envolve $ y $ e sua derivada em relação a $ x $. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de substituição adequado para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de equação diferencial temos aqui. Observando a forma:
onde $ P(x) = \frac{2}{3x} $, $ Q(x) = \frac{2}{3} $ e $ n = 4 $.
Essa é uma Equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
Para resolver, usamos uma substituição especial que transforma essa equação não linear em uma equação linear.
Passo 3
Vamos fazer a substituição:
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ v $ em relação a $ x $. Usando a regra da cadeia:
Passo 4
Vamos reescrever a equação original em termos de $ v $. Primeiro, isolamos $ \frac{d y}{d x} $:
Agora, substituímos $ \frac{d y}{d x} $ na expressão para $ \frac{d v}{d x} $:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear em termos de $ v $:
Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pela $ \mu(x) $:
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto $ \mu(x) v $:
Passo 7
Integramos ambos os lados em relação a $ x $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 8
Resolvemos para $ v $:
Lembrando que $ v = y^{-3} $, temos:
Passo 9
Agora, resolvemos para $ y $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C $ é uma constante arbitrária.