Resolva as seguintes equações diferenciais:
d yd x+23 x y=2 x3 x y^4;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa resolver a equação diferencial:
d yd x + 23 x y = 23 y^4
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem que envolve $ y $ e sua derivada em relação a $ x $. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de substituição adequado para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de equação diferencial temos aqui. Observando a forma:
d yd x + P(x) y = Q(x) y^n
onde $ P(x) = \frac{2}{3x} $, $ Q(x) = \frac{2}{3} $ e $ n = 4 $.
Essa é uma Equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
P(x) = 23x
Para resolver, usamos uma substituição especial que transforma essa equação não linear em uma equação linear.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
v = y^1 - n = y^-3
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ v $ em relação a $ x $. Usando a regra da cadeia:
v

Passo 4

Vamos reescrever a equação original em termos de $ v $. Primeiro, isolamos $ \frac{d y}{d x} $:
v
Agora, substituímos $ \frac{d y}{d x} $ na expressão para $ \frac{d v}{d x} $:
d yd x
Simplificando:
d yd x = 23 y^4 - 23x y
d yd x

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em termos de $ v $:
v
Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
d vd x - 2x v = -2

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pela $ \mu(x) $:
mu(x)
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto $ \mu(x) v $:
x^-2 d vd x - 2x^3 v = -2 x^-2

Passo 7

Integramos ambos os lados em relação a $ x $:
x
x^-2 v = integral -2 x^-2 dx + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 8

Resolvemos para $ v $:
v
Lembrando que $ v = y^{-3} $, temos:
v = x^2 (2 x^-1 + C) = 2 x + C x^2

Passo 9

Agora, resolvemos para $ y $:
y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = (2 x + C x^2)^-1/3
onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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