Um tanque cilíndrico é feito de metal com espessura de 10 mm e com 2 metros de diâmetro. O material do qual é feito suporta um tensão de escoamento de 300 MPa . Cada tampa do tanque é parafusada nos flanges por parafusos de 20 mm que possuem uma tensão admissível de 400 MPa . Aplicando um fator de segurança n_{v}=2 para o vaso e n_{p}=1,5 para o material do parafuso, determine o número mínimo de parafusos em cada tampa.

Passo 1

O enunciado descreve um vaso cilíndrico de diâmetro externo D=2\,\mathrm{m} (portanto raio r=D/2=1000\,\mathrm{mm}) e espessura de parede t=10\,\mathrm{mm}. O material do vaso tem limite de escoamento \sigma_y=300\,\mathrm{MPa} e fator de segurança para o vaso n_v=2. Cada tampa é aparafusada por parafusos de diâmetro d=20\,\mathrm{mm} cujo limite admissível é \sigma_{\mathrm{adm}}=400\,\mathrm{MPa} e fator de segurança n_p=1{,}5. Precisamos achar o número mínimo de parafusos por tampa, levando em conta a pressão interna máxima permitida pelo vaso e a capacidade de carga dos parafusos.

Passo 2

Em um cilindro fino sujeito à pressão interna p, a tensão circunferencial (hoop) é
\sigma_\theta = \frac{p\,r}{t}.
Para não exceder o limite elástico, impomos
\sigma_\theta \le \sigma_{\mathrm{allow},v} \quad\text{com}\quad \sigma_{\mathrm{allow},v}=\frac{\sigma_y}{n_v}.

Passo 3

Calculando o \sigma_{\mathrm{allow},v}:
\sigma_{\mathrm{allow},v} = \frac{300\,\mathrm{MPa}}{2} =150\,\mathrm{MPa}.
Logo, a pressão interna máxima admissível é
p_{\max} = \frac{\sigma_{\mathrm{allow},v}\,t}{r} = \frac{150\,\mathrm{N/mm}^2 \times 10\,\mathrm{mm}}{1000\,\mathrm{mm}} =1{,}5\,\mathrm{N/mm}^2 =1{,}5\,\mathrm{MPa}.

Passo 4

A força resultante sobre cada tampa é
F = p_{\max}\,A_{\text{tampa}} \quad\text{com}\quad A_{\text{tampa}} = \pi\,r^2 = \pi\,(1000\,\mathrm{mm})^2.
Substituindo,
F = 1{,}5\,\mathrm{N/mm}^2 \times \pi \times 10^6\,\mathrm{mm}^2 \approx 4{,}7124\times10^6\,\mathrm{N}.

Passo 5

Cada parafuso tem área de seção transversal
A_b = \frac{\pi\,d^2}{4} = \frac{\pi\,(20\,\mathrm{mm})^2}{4} \approx 314{,}16\,\mathrm{mm}^2.
A tensão admissível no parafuso com fator de segurança n_p é
\sigma_{\mathrm{allow},b} = \frac{\sigma_{\mathrm{adm}}}{n_p} = \frac{400\,\mathrm{MPa}}{1{,}5} \approx 266{,}67\,\mathrm{MPa}.
Portanto a carga admissível por parafuso é
F_b = A_b \,\sigma_{\mathrm{allow},b} \approx 314{,}16\,\mathrm{mm}^2 \times 266{,}67\,\mathrm{N/mm}^2 \approx 8,378\times10^4\,\mathrm{N}.

Passo 6

O número mínimo de parafusos é
N = \frac{F}{F_b} \approx \frac{4{,}7124\times10^6}{8,378\times10^4} \approx 56{,}25.
Arredondando para o inteiro superior, obtemos N=57.

Resposta

O número mínimo de parafusos em cada tampa é 57.

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