Uma placa retangular de vidro, de dimensões 3 dm e 5 dm , deve cobrir uma gravura de modo que, em torno dela, reste uma faixa uniforme de 5 cm de largura. Monte, com esses dados, uma matriz cujo determinante forneça, em
, a área da faixa.
Passo 1
O enunciado dá uma placa retangular de vidro com dimensões
e
e pede que ela cubra uma gravura deixando, ao redor, uma faixa uniforme de largura
. A solicitação é: montar uma matriz cuja determinante forneça, em
, a área da faixa.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Dimensões da placa (externa):
e . - Largura da faixa em torno da gravura:
. - O que se pede: apresentar uma matriz (provavelmente
) tal que o valor do determinante dessa matriz seja igual à área da faixa, expressa em .
Passo 2
Converter unidades e calcular as dimenções internas (da gravura) e as áreas para sabermos qual número a matriz deve fornecer.
- Converter a largura da faixa:
(pois ). - Como a faixa é uniforme em volta, em cada direção a retirada total do comprimento é
vezes a largura da faixa, isto é .
Portanto as dimensões da gravura (retângulo interno) são:
Áreas:
Passo 3
Explicar o conceito de determinante usado aqui (ferramenta que vamos usar). Para uma matriz
o determinante é definido por
Aqui
são os quatro elementos da matriz; o produto
é o produto da diagonal principal e
é o produto da diagonal secundária, e a diferença dá o determinante. Em muitos contextos geométricos,
mede a área do paralelogramo gerado pelas linhas (ou colunas) da matriz — por isso determinantes e áreas têm relação direta.]
Passo 4
Escolher uma matriz prática cujo determinante seja exatamente a área da faixa calculada (
). Uma escolha simples é colocar a primeira linha com as dimensões externas
e a segunda linha com números escolhidos de modo que o determinante dê
.
Escolhendo a matriz
onde:
-
e são as dimensões externas (em ); -
é a diferença (ou seja, o total retirado no sentido do comprimento, em ); -
é a largura interna (em ).
Agora aplicamos a fórmula do determinante para verificar:
Passo 5
Calcular explicitamente o determinante e comparar com a área da faixa:
O resultado é
, que tem unidade
porque multiplicamos comprimentos em
. Esse valor coincide com a área da faixa que calculamos no Passo 2.
Observação pedagógica rápida: existem muitas matrizes cuja determinante pode dar o mesmo número; aqui escolhemos uma matriz simples e ligada diretamente aos comprimentos do problema para facilitar a interpretação.