Uma placa retangular de vidro, de dimensões 3 dm e 5 dm , deve cobrir uma gravura de modo que, em torno dela, reste uma faixa uniforme de 5 cm de largura. Monte, com esses dados, uma matriz cujo determinante forneça, em \mathrm{dm}^{2}, a área da faixa.

Passo 1

O enunciado dá uma placa retangular de vidro com dimensões 3\\ \mathrm{dm} e 5\\ \mathrm{dm} e pede que ela cubra uma gravura deixando, ao redor, uma faixa uniforme de largura 5\\ \mathrm{cm}. A solicitação é: montar uma matriz cuja determinante forneça, em \mathrm{dm}^{2}, a área da faixa.
Informações relevantes dadas:
  • Dimensões da placa (externa): 3\\ \mathrm{dm} e 5\\ \mathrm{dm}.
  • Largura da faixa em torno da gravura: 5\\ \mathrm{cm}.
  • O que se pede: apresentar uma matriz (provavelmente 2\times2) tal que o valor do determinante dessa matriz seja igual à área da faixa, expressa em \mathrm{dm}^{2}.

Passo 2

Converter unidades e calcular as dimenções internas (da gravura) e as áreas para sabermos qual número a matriz deve fornecer.
  • Converter a largura da faixa: 5\\ \mathrm{cm} = 0{,}5\\ \mathrm{dm} (pois 1\\ \mathrm{dm}=10\\ \mathrm{cm}).
  • Como a faixa é uniforme em volta, em cada direção a retirada total do comprimento é 2 vezes a largura da faixa, isto é 2\cdot0{,}5\\ \mathrm{dm}=1\\ \mathrm{dm}.
Portanto as dimensões da gravura (retângulo interno) são:
\text{comprimento interno} = 3 - 1 = 2\\ \mathrm{dm}, \qquad \text{largura interna} = 5 - 1 = 4\\ \mathrm{dm}.
Áreas:
\text{área da placa (externa)} = 3\cdot5 = 15\\ \mathrm{dm}^2,á
\text{área da gravura (interna)} = 2\cdot4 = 8\\ \mathrm{dm}^2,á
\text{área da faixa} = 15 - 8 = 7\\ \mathrm{dm}^2.á

Passo 3

Explicar o conceito de determinante usado aqui (ferramenta que vamos usar). Para uma matriz 2\times2
A=\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & d \end{pmatrix},
o determinante é definido por
\det A = ad - bc.
Aqui a,b,c,d são os quatro elementos da matriz; o produto ad é o produto da diagonal principal e bc é o produto da diagonal secundária, e a diferença dá o determinante. Em muitos contextos geométricos, \lvert\det A\rvert mede a área do paralelogramo gerado pelas linhas (ou colunas) da matriz — por isso determinantes e áreas têm relação direta.]

Passo 4

Escolher uma matriz prática cujo determinante seja exatamente a área da faixa calculada ( 7\\ \mathrm{dm}^2). Uma escolha simples é colocar a primeira linha com as dimensões externas (3,5) e a segunda linha com números escolhidos de modo que o determinante dê 7.
Escolhendo a matriz
M = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\[4pt] 1 & 4 \end{pmatrix},
onde:
  • 3 e 5 são as dimensões externas (em \mathrm{dm});
  • 1 é a diferença 3-2 (ou seja, o total retirado no sentido do comprimento, em \mathrm{dm});
  • 4 é a largura interna (em \mathrm{dm}).
Agora aplicamos a fórmula do determinante para verificar:
\det M = 3\cdot4 - 5\cdot1.]

Passo 5

Calcular explicitamente o determinante e comparar com a área da faixa:
\det M = 12 - 5 = 7.
O resultado é 7, que tem unidade \mathrm{dm}^2 porque multiplicamos comprimentos em \mathrm{dm}. Esse valor coincide com a área da faixa que calculamos no Passo 2.
Observação pedagógica rápida: existem muitas matrizes cuja determinante pode dar o mesmo número; aqui escolhemos uma matriz simples e ligada diretamente aos comprimentos do problema para facilitar a interpretação.

Resposta

\begin{pmatrix} 3 & 5 \\[4pt] 1 & 4 \end{pmatrix}]

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