Um paralelogramo de lados medindo 8 cm e 6 cm é equivalente a um retângulo de dimensões 6 cm e 6, \overline{6} \mathrm{~cm}. Determine o seno do ângulo obtuso \alpha formado entre os lados do paralelogramo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados do enunciado:
    • Um paralelogramo tem lados medindo 8\\ \text{cm} e 6\\ \text{cm}.
    • O paralelogramo é equivalente (tem mesma área) a um retângulo de dimensões 6\\ \text{cm} e 6,\overline{6}\\ \text{cm}. (O enunciado deu esse número repetido.)
    • O ângulo entre os lados do paralelogramo é o ângulo obtuso \alpha.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o valor de \sin\alpha.

Passo 2

Transformar o número decimal periódico 6,\overline{6} em fração — isso é útil para calcular a área do retângulo.
Explicação rápida: se x=6,\overline{6}, então x=6{,}666\ldots. Uma forma simples de converter é notar que 0,\overline{6}=\dfrac{2}{3}. Logo
6,\overline{6}=6+0,\overline{6}=6+\frac{2}{3}=\frac{18}{3}+\frac{2}{3}=\frac{20}{3}.

Passo 3

Calcular a área do retângulo usando as dimensões dadas (peguei a medida 6,\overline{6} da linha acima e a escrevi como \dfrac{20}{3}).
A área do retângulo é base vezes altura; aqui as dimensões são 6 e \dfrac{20}{3}. Então
A_{\text{retângulo}}=6\cdot\frac{20}{3}.â
Fazendo a conta:
6\cdot\frac{20}{3}=2\cdot20=40.
Portanto a área comum (do retângulo e do paralelogramo) é 40\\ \text{cm}^2.

Passo 4

Lembrar e explicar a fórmula da área do paralelogramo em termos dos lados e do seno do ângulo formado entre eles.
  • Considere um paralelogramo com lados de comprimentos a e b e ângulo entre eles \alpha.
  • Tomando a como base, a altura relativa a essa base é a distância perpendicular do lado oposto à base. Ao decompor o lado b em um triângulo retângulo formado ao projetá-lo sobre a base, a altura é justamente a componente perpendicular de b.
  • Numa relação trigonométrica simples, nessa configuração a altura vale b\sin\alpha (porque em um triângulo retângulo a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa é o seno do ângulo).
  • Portanto a área do paralelogramo é
A_{\text{paralelogramo}}=a\cdot(\text{altura})=a\cdot b\sin\alpha.

Passo 5

Aplicar a fórmula do passo anterior com os valores dados e igualar à área encontrada do retângulo.
Aqui a=8, b=6 e A_{\text{paralelogramo}}=40. Assim
8\cdot 6\sin\alpha = 40.
Calcular o produto 8\cdot6:
48\sin\alpha = 40.
Isolando \sin\alpha:
\sin\alpha=\frac{40}{48}=\frac{5}{6}.

Passo 6

Interpretar o sinal e a consistência com o fato de \alpha ser obtuso.
  • Para um ângulo obtuso \alpha (isto é, \alpha\in(\tfrac{\pi}{2},\pi)), o seno é positivo (pois \sin é positivo para ângulos entre 0 e \pi).
  • Obtivemos \sin\alpha=\dfrac{5}{6}, um número positivo e menor que 1, portanto compatível com \alpha obtuso. (Observação: o mesmo valor de seno corresponde também a um ângulo agudo \beta=\pi-\alpha, mas como o enunciado deu que o ângulo é obtuso, mantemos \sin\alpha=\dfrac{5}{6}.)

Resposta

\displaystyle \sin\alpha=\frac{5}{6}

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