Um paralelogramo de lados medindo 8 cm e 6 cm é equivalente a um retângulo de dimensões 6 cm e
. Determine o seno do ângulo obtuso
formado entre os lados do paralelogramo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
-
Dados do enunciado:
- Um paralelogramo tem lados medindo
e . - O paralelogramo é equivalente (tem mesma área) a um retângulo de dimensões
e . (O enunciado deu esse número repetido.) - O ângulo entre os lados do paralelogramo é o ângulo obtuso
.
- Um paralelogramo tem lados medindo
-
O que o enunciado pede:
- Determinar o valor de
.
- Determinar o valor de
Passo 2
Transformar o número decimal periódico
em fração — isso é útil para calcular a área do retângulo.
Explicação rápida: se
, então
. Uma forma simples de converter é notar que
. Logo
Passo 3
Calcular a área do retângulo usando as dimensões dadas (peguei a medida
da linha acima e a escrevi como
).
A área do retângulo é base vezes altura; aqui as dimensões são
e
. Então
Fazendo a conta:
Portanto a área comum (do retângulo e do paralelogramo) é
.
Passo 4
Lembrar e explicar a fórmula da área do paralelogramo em termos dos lados e do seno do ângulo formado entre eles.
- Considere um paralelogramo com lados de comprimentos
e e ângulo entre eles . - Tomando
como base, a altura relativa a essa base é a distância perpendicular do lado oposto à base. Ao decompor o lado em um triângulo retângulo formado ao projetá-lo sobre a base, a altura é justamente a componente perpendicular de . - Numa relação trigonométrica simples, nessa configuração a altura vale
(porque em um triângulo retângulo a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa é o seno do ângulo). - Portanto a área do paralelogramo é
Passo 5
Aplicar a fórmula do passo anterior com os valores dados e igualar à área encontrada do retângulo.
Aqui
,
e
. Assim
Calcular o produto
:
Isolando
:
Passo 6
Interpretar o sinal e a consistência com o fato de
ser obtuso.
- Para um ângulo obtuso
(isto é, ), o seno é positivo (pois é positivo para ângulos entre e ). - Obtivemos
, um número positivo e menor que , portanto compatível com obtuso. (Observação: o mesmo valor de seno corresponde também a um ângulo agudo , mas como o enunciado deu que o ângulo é obtuso, mantemos .)