(Unicamp-SP) Um fio de 48 cm de comprimento é cortado em duas partes, para formar dois quadrados, de modo que a área de um deles seja quatro vezes a área do outro.
a) Qual deve ser o comprimento de cada uma das partes do fio?
b) Qual será a área de cada um dos quadrados formados?
a) Qual deve ser o comprimento de cada uma das partes do fio?
b) Qual será a área de cada um dos quadrados formados?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- Informação: um fio de
é cortado em duas partes e cada parte é usada como perímetro de um quadrado. - Informação: a área de um dos quadrados é quatro vezes a área do outro.
- Pergunta (a): qual deve ser o comprimento de cada uma das duas partes do fio?
- Pergunta (b): qual será a área de cada um dos quadrados formados?
Passo 2
Vamos nomear as quantidades para organizar. Seja
o comprimento (em cm) de uma das partes do fio. Então a outra parte tem comprimento
(em cm). Essas duas partes serão os perímetros dos dois quadrados.
Passo 3
Lembrete importante (fórmula usada): o perímetro de um quadrado é quatro vezes o lado. Então, se uma tira de fio de comprimento
forma o perímetro de um quadrado, o comprimento do lado desse quadrado é
Explicando em palavras: dividir o perímetro por 4 dá o tamanho de cada lado, porque o quadrado tem 4 lados iguais.
Passo 4
Aplicando isso às nossas duas partes:
- O lado do quadrado formado pelo fio de comprimento
é . - O lado do quadrado formado pelo fio de comprimento
é .
A área de um quadrado é o quadrado do lado. Então as áreas são
Passo 5
A condição do enunciado diz que a área de um é quatro vezes a área do outro. Podemos assumir, sem perda de generalidade, que
é a maior e que
Se depois quisermos a outra ordem (o segundo quadrado maior), os comprimentos simplesmente trocam de posição — o problema é simétrico. Agora substituímos as expressões de
e
:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação. Multiplicando ambos os lados por
(para eliminar os denominadores), obtemos
Tomando raiz quadrada dos dois lados precisamos considerar o sinal, então obtemos duas possibilidades:
Passo 7
Resolver cada possibilidade:
- Se
então
- Se
então
mas isso é impossível porque
não pode ser maior que o fio total
. Portanto rejeitamos
.
Passo 8
Da solução válida
segue que a outra parte tem comprimento
Como comentado antes, se tivéssemos começado trocando os papéis (afirmando
), obteríamos
e
; isto é, as duas partes possíveis são
e
(a ordem depende de qual quadrado é o maior).
Passo 9
Calcular as áreas dos quadrados formados por essas partes:
- Para a parte de
, o lado é e a área é
- Para a parte de
, o lado é e a área é
Verificação rápida:
é realmente
vezes
, como exigido.
Resposta
(a)
e
(b) e
(b)