(Unicamp-SP) Um fio de 48 cm de comprimento é cortado em duas partes, para formar dois quadrados, de modo que a área de um deles seja quatro vezes a área do outro.
a) Qual deve ser o comprimento de cada uma das partes do fio?
b) Qual será a área de cada um dos quadrados formados?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Informação: um fio de 48\\ \text{cm} é cortado em duas partes e cada parte é usada como perímetro de um quadrado.
  • Informação: a área de um dos quadrados é quatro vezes a área do outro.
  • Pergunta (a): qual deve ser o comprimento de cada uma das duas partes do fio?
  • Pergunta (b): qual será a área de cada um dos quadrados formados?

Passo 2

Vamos nomear as quantidades para organizar. Seja x o comprimento (em cm) de uma das partes do fio. Então a outra parte tem comprimento 48-x (em cm). Essas duas partes serão os perímetros dos dois quadrados.

Passo 3

Lembrete importante (fórmula usada): o perímetro de um quadrado é quatro vezes o lado. Então, se uma tira de fio de comprimento L forma o perímetro de um quadrado, o comprimento do lado desse quadrado é
s=\frac{L}{4}.
Explicando em palavras: dividir o perímetro por 4 dá o tamanho de cada lado, porque o quadrado tem 4 lados iguais.

Passo 4

Aplicando isso às nossas duas partes:
  • O lado do quadrado formado pelo fio de comprimento x é \dfrac{x}{4}.
  • O lado do quadrado formado pelo fio de comprimento 48-x é \dfrac{48-x}{4}.
A área de um quadrado é o quadrado do lado. Então as áreas são
A_1=\left(\frac{x}{4}\right)^2 \qquad\text{e}\qquad A_2=\left(\frac{48-x}{4}\right)^2.

Passo 5

A condição do enunciado diz que a área de um é quatro vezes a área do outro. Podemos assumir, sem perda de generalidade, que A_1 é a maior e que
A_1=4A_2.
Se depois quisermos a outra ordem (o segundo quadrado maior), os comprimentos simplesmente trocam de posição — o problema é simétrico. Agora substituímos as expressões de A_1 e A_2:
\left(\frac{x}{4}\right)^2 = 4\left(\frac{48-x}{4}\right)^2.

Passo 6

Vamos simplificar essa equação. Multiplicando ambos os lados por 16 (para eliminar os denominadores), obtemos
x^2 = 4(48-x)^2.
Tomando raiz quadrada dos dois lados precisamos considerar o sinal, então obtemos duas possibilidades:
x = 2(48-x) \qquad\text{ou}\qquad x = -2(48-x).

Passo 7

Resolver cada possibilidade:
  1. Se x = 2(48-x) então
x = 96 - 2x \quad\Rightarrow\quad 3x = 96 \quad\Rightarrow\quad x = 32.
  1. Se x = -2(48-x) então
x = -96 + 2x \quad\Rightarrow\quad x = 96,
mas isso é impossível porque x não pode ser maior que o fio total 48. Portanto rejeitamos x=96.

Passo 8

Da solução válida x=32\\ \text{cm} segue que a outra parte tem comprimento
48-x = 48-32 = 16\\ \text{cm}.
Como comentado antes, se tivéssemos começado trocando os papéis (afirmando A_2=4A_1), obteríamos x=16 e 48-x=32; isto é, as duas partes possíveis são 32\\ \text{cm} e 16\\ \text{cm} (a ordem depende de qual quadrado é o maior).

Passo 9

Calcular as áreas dos quadrados formados por essas partes:
  • Para a parte de 32\\ \text{cm}, o lado é \dfrac{32}{4}=8\\ \text{cm} e a área é
8^2 = 64\\ \text{cm}^2.
  • Para a parte de 16\\ \text{cm}, o lado é \dfrac{16}{4}=4\\ \text{cm} e a área é
4^2 = 16\\ \text{cm}^2.
Verificação rápida: 64 é realmente 4 vezes 16, como exigido.

Resposta

(a) 32\\ \text{cm} e 16\\ \text{cm}
(b) 64\\ \text{cm}^2 e 16\\ \text{cm}^2

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