4 - Uma placa rígida de peso desprezível está apoiada na mola central cujo comprimento é 2 cm maior que o das molas laterais idênticas, simetricamente posicionadas. Cada uma das molas laterais, têm 18 espirais de diâmetro médio igual a 10 cm , construídas com arame de 1 cm de diâmetro. A mola central tem 24 espiras de diâmetro médio igual a 15 cm , construída com arame de
de diâmetro. Sabendo-se que, as três molas são de mesmo material (
), e que a tensão admissível ao cisalhamento é de
, pede-se determinar o maior valor que a carga P pode assumir.
Passo 1
O que o problema pede e os dados que temos (peguei também da figura a diferença de comprimento entre molas).
- Pedido: determinar o maior valor da carga
que pode ser aplicada à placa, de modo que nenhuma mola tenha tensão de cisalhamento superior a . - Dados das molas (fornecidos no enunciado):
- Molas laterais (duas idênticas, cada uma chamada de
): - número de espiras:
. - diâmetro médio da espira:
. - diâmetro do arame:
.
- número de espiras:
- Mola central (chamada de
): - número de espiras:
. - diâmetro médio da espira:
. - diâmetro do arame:
.
- número de espiras:
- Módulo de cisalhamento do material:
-
.
-
- Tensão admissível ao cisalhamento:
-
.
-
- Molas laterais (duas idênticas, cada uma chamada de
- Informação extraída da figura (declarei explicitamente que peguei este dado da imagem):
- A mola central tem comprimento
maior que as molas laterais; portanto, sob ação da placa inicialmente só a mola central entra em contato e comprime até ; depois disso as duas laterais também passam a trabalhar (ou seja, existe uma compressão inicial da mola central de antes das laterais tocarem).
- A mola central tem comprimento
Passo 2
Modelagem mecânica e fórmulas que vamos usar — explicação didática.
- Comportamento elástico linear de mola helicoidal “de trabalho” (fechada): a constante de mola (rigidez) de uma mola helicoidal de fio circular é dada por
onde:
-
é a rigidez da mola em , -
é o módulo de cisalhamento do material em , -
é o diâmetro do arame em , -
é o diâmetro médio da espira em , -
é o número de espiras ativas (aqui usamos o número fornecido). -
A tensão máxima de cisalhamento no fio da mola quando sujeita a uma força axial
(força sobre aquela mola) é, para mola helicoidal circular, aproximadamente
onde:
-
é a tensão de cisalhamento máxima no fio em , -
é a força axial na mola em , -
e como acima, -
é o fator de correção de Wahl que corrige efeitos de concentração de tensões e curvatura do fio. -
O fator de Wahl
depende do índice da mola e é dado por
Explicando:
é a razão entre diâmetro médio de espira e diâmetro do fio; quando
é pequeno (fio grosso relativo ao diâmetro da espira) as tensões concentradas são maiores e
cresce.
- Estratégia de solução:
- Calcular
(cada mola lateral) e (mola central). - Determinar a carga
em que as molas laterais entram em contato (compressão da central igual a ). - Para cargas maiores, escrever as forças nas molas em função da compressão adicional
(após as laterais tocarem) e calcular as tensões em cada mola. - Encontrar a carga para a qual a mola lateral atinge
e a carga para a qual a mola central atinge . A menor dessas cargas é .
- Calcular
Passo 3
Cálculo das rigidezes
e
.
- Para cada mola lateral
:
Substituindo os valores (usar unidades em
e
):
Calcule o denominador:
.
- Para a mola central
:
Calcule
e
. O denominador
.
Observação: as unidades conferem:
em
vezes
dá
dividido por
e sem dimensão dá
.
Passo 4
Carga em que as molas laterais entram em contato e comportamento após isso.
- Enquanto apenas a mola central trabalha (antes das laterais tocarem), a compressão necessária para as laterais tocarem é
. Nessa condição a carga suportada é
-
Verificação rápida da tensão na mola central neste estágio (não é o valor final, só para checar):
- Primeiro calcular
. - Fator de Wahl para
:
- Tensão de cisalhamento na mola central quando
:
bem abaixo de. Logo as laterais vão, de fato, entrar antes de ocorrer ruptura da central. - Primeiro calcular
-
Após as laterais tocarem, se a placa se deslocar mais uma distância
(compressão adicional), teremos: - força na mola central:
- força em cada mola lateral:
- carga total:
- definimos a rigidez equivalente total após o contato das três molas:
Passo 5
Determinar para qual
cada mola atinge a tensão admissível e escolher o menor
(caso crítico).
-
Primeiro, achar a força máxima admissível em cada mola resolvendo a fórmula da tensão para
: -
Para cada mola lateral
: - calcular
. - fator de Wahl:
- isolando
de :
- Isso dá a compressão
correspondente (lembre que cada lateral só comprime após tocar):
- A carga total quando cada lateral atinge
é
- calcular
-
Agora para a mola central
: - fator de Wahl já calculado
. - isolando
de :
- Isso corresponde a uma compressão total da mola central de
- Como a mola central já estava comprimida
quando as laterais tocaram, a compressão adicional necessária seria . - A carga total correspondente é
- fator de Wahl já calculado
-
-
Comparação das duas condições críticas:
-
. -
. - A menor delas governa: a tensão admissível será atingida primeiro nas molas laterais. Logo o maior
permitido é .
-
Passo 6
Interpretação final e resultado numérico arredondado razoavelmente.
- Conclui-se que as molas laterais atingem a tensão admissível primeiro, portanto
- Podemos apresentar com três algarismos significativos: