4 - Uma placa rígida de peso desprezível está apoiada na mola central cujo comprimento é 2 cm maior que o das molas laterais idênticas, simetricamente posicionadas. Cada uma das molas laterais, têm 18 espirais de diâmetro médio igual a 10 cm , construídas com arame de 1 cm de diâmetro. A mola central tem 24 espiras de diâmetro médio igual a 15 cm , construída com arame de 1,8 \mathrm{~cm} de diâmetro. Sabendo-se que, as três molas são de mesmo material ( \mathrm{G}=0,84 \times 10^{6} \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{2} ), e que a tensão admissível ao cisalhamento é de 1050 \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{2}, pede-se determinar o maior valor que a carga P pode assumir.

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos (peguei também da figura a diferença de comprimento entre molas).
  • Pedido: determinar o maior valor da carga P que pode ser aplicada à placa, de modo que nenhuma mola tenha tensão de cisalhamento superior a 1050\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}.
  • Dados das molas (fornecidos no enunciado):
    • Molas laterais (duas idênticas, cada uma chamada de A):
      • número de espiras: n_A=18.
      • diâmetro médio da espira: D_A=10\\ \mathrm{cm}.
      • diâmetro do arame: d_A=1\\ \mathrm{cm}.
    • Mola central (chamada de B):
      • número de espiras: n_B=24.
      • diâmetro médio da espira: D_B=15\\ \mathrm{cm}.
      • diâmetro do arame: d_B=1{,}8\\ \mathrm{cm}.
    • Módulo de cisalhamento do material:
      • G=0,84\times10^{6}\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}.
    • Tensão admissível ao cisalhamento:
      • \tau_{\text{adm}}=1050\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}.
  • Informação extraída da figura (declarei explicitamente que peguei este dado da imagem):
    • A mola central tem comprimento 2\\ \mathrm{cm} maior que as molas laterais; portanto, sob ação da placa inicialmente só a mola central entra em contato e comprime até 2\\ \mathrm{cm}; depois disso as duas laterais também passam a trabalhar (ou seja, existe uma compressão inicial da mola central de 2\\ \mathrm{cm} antes das laterais tocarem).

Passo 2

Modelagem mecânica e fórmulas que vamos usar — explicação didática.
  • Comportamento elástico linear de mola helicoidal “de trabalho” (fechada): a constante de mola (rigidez) de uma mola helicoidal de fio circular é dada por
k=\frac{G d^{4}}{8 D^{3} n},
onde:
  • k é a rigidez da mola em \mathrm{Kgf/cm},
  • G é o módulo de cisalhamento do material em \mathrm{Kgf/cm^{2}},
  • d é o diâmetro do arame em \mathrm{cm},
  • D é o diâmetro médio da espira em \mathrm{cm},
  • n é o número de espiras ativas (aqui usamos o número fornecido).
  • A tensão máxima de cisalhamento no fio da mola quando sujeita a uma força axial F (força sobre aquela mola) é, para mola helicoidal circular, aproximadamente
\tau = K_w\;\frac{8 F D}{\pi d^{3}},
onde:
  • \tau é a tensão de cisalhamento máxima no fio em \mathrm{Kgf/cm^{2}},
  • F é a força axial na mola em \mathrm{Kgf},
  • D e d como acima,
  • K_w é o fator de correção de Wahl que corrige efeitos de concentração de tensões e curvatura do fio.
  • O fator de Wahl K_w depende do índice da mola C=\dfrac{D}{d} e é dado por
K_w=\frac{4C-1}{4C-4}+\frac{0{,}615}{C}.
Explicando: C é a razão entre diâmetro médio de espira e diâmetro do fio; quando C é pequeno (fio grosso relativo ao diâmetro da espira) as tensões concentradas são maiores e K_w cresce.
  • Estratégia de solução:
    1. Calcular k_A (cada mola lateral) e k_B (mola central).
    2. Determinar a carga P_1 em que as molas laterais entram em contato (compressão da central igual a 2\\ \mathrm{cm}).
    3. Para cargas maiores, escrever as forças nas molas em função da compressão adicional x (após as laterais tocarem) e calcular as tensões em cada mola.
    4. Encontrar a carga para a qual a mola lateral atinge \tau_{\text{adm}} e a carga para a qual a mola central atinge \tau_{\text{adm}}. A menor dessas cargas é P_{\max}.

Passo 3

Cálculo das rigidezes k_A e k_B.
  • Para cada mola lateral A:
k_A=\frac{G d_A^{4}}{8 D_A^{3} n_A}.
Substituindo os valores (usar unidades em \mathrm{cm} e \mathrm{Kgf/cm^{2}}):
k_A=\frac{0{,}84\times10^{6}\times(1)^{4}}{8\times(10)^{3}\times18}.
Calcule o denominador: 8\times10^{3}\times18=8\times1000\times18=144000.
k_A=\frac{840000}{144000}=5{,}8333\\ \mathrm{Kgf/cm}.
  • Para a mola central B:
k_B=\frac{G d_B^{4}}{8 D_B^{3} n_B} =\frac{0{,}84\times10^{6}\times(1{,}8)^{4}}{8\times(15)^{3}\times24}.
Calcule (1{,}8)^{4}=10{,}4976 e (15)^{3}=3375. O denominador 8\times3375\times24=648000.
k_B=\frac{0{,}84\times10^{6}\times10{,}4976}{648000} =\frac{8{,}817984\times10^{6}}{648000}=13{,}608\\ \mathrm{Kgf/cm}.
Observação: as unidades conferem: G em \mathrm{Kgf/cm^{2}} vezes \mathrm{cm^{4}} \mathrm{Kgf\cdot cm^{2}} dividido por \mathrm{cm^{3}} e sem dimensão dá \mathrm{Kgf/cm}.

Passo 4

Carga em que as molas laterais entram em contato e comportamento após isso.
  • Enquanto apenas a mola central trabalha (antes das laterais tocarem), a compressão necessária para as laterais tocarem é \Delta_0=2\\ \mathrm{cm}. Nessa condição a carga P_1 suportada é
P_1=k_B\,\Delta_0 =13{,}608\times2 =27{,}216\\ \mathrm{Kgf}.
  • Verificação rápida da tensão na mola central neste estágio (não é o valor final, só para checar):
    • Primeiro calcular C_B=\dfrac{D_B}{d_B}=\dfrac{15}{1{,}8}=8{,}3333.
    • Fator de Wahl para B:
    K_{wB}=\frac{4C_B-1}{4C_B-4}+\frac{0{,}615}{C_B} \approx\frac{4\times8{,}3333-1}{4\times8{,}3333-4}+\frac{0{,}615}{8{,}3333}\approx1{,}176.
    • Tensão de cisalhamento na mola central quando F_B=P_1:
    \tau_B = K_{wB}\frac{8 F_B D_B}{\pi d_B^{3}} =1{,}176\frac{8\times27{,}216\times15}{\pi\times(1{,}8)^{3}} \approx209{,}6\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}},
    bem abaixo de 1050\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}. Logo as laterais vão, de fato, entrar antes de ocorrer ruptura da central.
  • Após as laterais tocarem, se a placa se deslocar mais uma distância x (compressão adicional), teremos:
    • força na mola central:
    F_B=k_B(\Delta_0 + x)=k_B(2 + x).
    • força em cada mola lateral:
    F_A=k_A x.
    • carga total:
    P=F_B+2F_A = k_B(2 + x)+2k_A x = P_1 + (k_B+2k_A)\,x.
    • definimos a rigidez equivalente total após o contato das três molas:
    K_{\text{tot}}=k_B+2k_A=13{,}608+2\times5{,}8333=25{,}2747\\ \mathrm{Kgf/cm}.

Passo 5

Determinar para qual P cada mola atinge a tensão admissível e escolher o menor P (caso crítico).
  • Primeiro, achar a força máxima admissível em cada mola resolvendo a fórmula da tensão para F:
    • Para cada mola lateral A:
      • calcular C_A=\dfrac{D_A}{d_A}=\dfrac{10}{1}=10.
      • fator de Wahl:
      K_{wA}=\frac{4C_A-1}{4C_A-4}+\frac{0{,}615}{C_A} =\frac{39}{36}+\frac{0{,}615}{10}\approx1{,}14483.
      • isolando F_A de \tau_{\text{adm}}=K_{wA}\dfrac{8 F_A D_A}{\pi d_A^{3}}:
      F_{A,\max}=\frac{\tau_{\text{adm}}\\ \pi\\ d_A^{3}}{8 D_A K_{wA}} =\frac{1050\\ \pi \times(1)^{3}}{8\times10\times1{,}14483} \approx36{,}02\\ \mathrm{Kgf}.
      • Isso dá a compressão x correspondente (lembre que cada lateral só comprime x após tocar):
      x_{\text{crit},A}=\frac{F_{A,\max}}{k_A}=\frac{36{,}02}{5{,}8333}\approx6{,}173\\ \mathrm{cm}.
      • A carga total quando cada lateral atinge \tau_{\text{adm}} é
      P_{A\text{-crit}}=P_1 + K_{\text{tot}}\,x_{\text{crit},A} =27{,}216 + 25{,}2747\times6{,}173 \approx183{,}26\\ \mathrm{Kgf}.
    • Agora para a mola central B:
      • fator de Wahl já calculado K_{wB}\approx1{,}176.
      • isolando F_B de \tau_{\text{adm}}=K_{wB}\dfrac{8 F_B D_B}{\pi d_B^{3}}:
      F_{B,\max}=\frac{\tau_{\text{adm}}\\ \pi\\ d_B^{3}}{8 D_B K_{wB}} =\frac{1050\\ \pi \times(1{,}8)^{3}}{8\times15\times1{,}176} \approx136{,}44\\ \mathrm{Kgf}.
      • Isso corresponde a uma compressão total da mola central de
      \Delta_{B,\max}=\frac{F_{B,\max}}{k_B}=\frac{136{,}44}{13{,}608}\approx10{,}028\\ \mathrm{cm}.
      • Como a mola central já estava comprimida 2\\ \mathrm{cm} quando as laterais tocaram, a compressão adicional necessária seria x_{\text{crit},B}=10{,}028-2=8{,}028\\ \mathrm{cm}.
      • A carga total correspondente é
      P_{B\text{-crit}}=P_1 + K_{\text{tot}}\,x_{\text{crit},B} =27{,}216 + 25{,}2747\times8{,}028 \approx230{,}12\\ \mathrm{Kgf}.
  • Comparação das duas condições críticas:
    • P_{A\text{-crit}}\approx183{,}26\\ \mathrm{Kgf}.
    • P_{B\text{-crit}}\approx230{,}12\\ \mathrm{Kgf}.
    • A menor delas governa: a tensão admissível será atingida primeiro nas molas laterais. Logo o maior P permitido é P_{A\text{-crit}}.

Passo 6

Interpretação final e resultado numérico arredondado razoavelmente.
  • Conclui-se que as molas laterais atingem a tensão admissível primeiro, portanto
P_{\max}\approx183{,}26\\ \mathrm{Kgf}.
  • Podemos apresentar com três algarismos significativos:
P_{\max}\approx183\\ \mathrm{Kgf}.

Resposta

183{,}26\\ \mathrm{Kgf}

Exercícios relacionados