3 - Uma barra rígida horizontal é suportada por duas molas helicoidais. Quando não há cargas a barra é horizontal, não havendo força ou deformação nas molas. Determinar a carga máxima P para que a tensão nas molas não exceda a 1800
.
DADOS:
Mola
Mola
DADOS:
Mola
Mola
Passo 1
O que o problema pede:
- Determinar a carga máxima
para que a tensão nas molas não exceda
Dados fornecidos (tirados do enunciado e das dimensões da figura):
- Mola A:
- número de espiras
, - módulo de rigidez
, - diâmetro médio da bobina
, - diâmetro do fio
.
- número de espiras
- Mola B:
- número de espiras
, - módulo de rigidez
, - diâmetro médio da bobina
, - diâmetro do fio
.
- número de espiras
- Limite admissível de tensão no fio das molas:
- Distâncias entre apoio/pontos ao longo da barra (peguei essas distâncias da imagem fornecida):
- do apoio
até a mola : , - de
até : (logo contado a partir de ), - de
até o ponto de aplicação da carga : (logo contado a partir de ).
- do apoio
Observação importante (para ficar claro): a barra é rígida e gira em torno do apoio em
; as molas, ao serem esticadas pela rotação da barra, geram forças verticais
e
. A estratégia será:
- calcular as rigidezes
e das molas; - relacionar
e com por equilíbrio estático e pela relação de deslocamentos de uma barra rígida girando em torno de ; - impor que a tensão no fio de cada mola não ultrapasse
(usar a fórmula da tensão cortante máxima com o fator de Wahl) e obter a maior admissível; a resposta será o menor dentre os limites dados por cada mola.
Passo 2
Fórmula da rigidez de uma mola helicoidal (princípio e aplicação)
- Para uma mola helicoidal de seção circular e espiras próximas, a rigidez axial (constante elástica) é dada por
onde:
-
é a rigidez da mola (força por deslocamento), em aqui; -
é o módulo de rigidez do material (em ); -
é o diâmetro do fio (em ); -
é o diâmetro médio da bobina (em ); -
é o número de espiras ativas (adimensional).
Agora calculamos
e
substituindo os dados (a conta é mostrada passo a passo):
Para a mola A:
Fazendo as contas:
Para a mola B:
Fazendo as contas:
Resumo:
Passo 3
Relação entre deslocamento da barra rígida e força nas molas
- Se a barra gira um pequeno ângulo
em torno do apoio , o deslocamento vertical (para baixo) em um ponto a uma distância de é aproximadamente (pequenas rotações, barra rígida). - A força na mola
é então
Equilíbrios estáticos (sumarizado):
- Soma dos momentos em relação a
(o apoio em não gera momento porque é o pivô):
- Substituindo
e obtemos:
Logo o ângulo
é
- Assim as forças nas molas, em função de
, são:
Passo 4
Substituir valores numéricos para escrever
e
como frações de
Primeiro calcule o denominador comum:
Agora:
Portanto
e
aumentam linearmente com
; numericamente:
Passo 5
Fórmula da tensão cortante máxima no fio da mola (Wahl)
- A tensão cortante máxima em um fio de mola helicoidal carregada axialmente é aproximadamente
onde:
-
é a força axial na mola (em ), -
é o diâmetro médio da bobina (em ), -
é o diâmetro do fio (em ), -
é o fator de Wahl que corrige para concentração de tensões por curvatura. - O fator de Wahl pode ser calculado por
Impor que
nos dá o limite de
admissível:
Calculemos
para cada mola (mostrando os passos):
Para a mola A:
Agora
Calculando:
Para a mola B:
Calculando:
Interpretação: a mola A suporta até cerca de
sem exceder a tensão admissível; a mola B até cerca de
.
Passo 6
Determinar
a partir dos limites de força nas molas
- Como
e , as condições de não exceder a tensão admissional são:
Calculemos os dois limites:
Pela mola A:
Pela mola B:
O valor admissível real de
é o menor desses (porque ambas as molas devem respeitar o limite). Portanto:
Passo 7
Conclusão interpretativa e incentivo (curtinho e amigo)
- A mola A é a que limita a carga porque, sendo de fio mais fino e com geometria diferente, atinge a tensão admissível primeiro.
- Então a carga máxima que pode ser aplicada no extremo sem exceder
nas molas é aproximadamente Força curta, eu sei, mas foi ela que manda aqui — segura firme e vamos adiante!