3 - Uma barra rígida horizontal é suportada por duas molas helicoidais. Quando não há cargas a barra é horizontal, não havendo força ou deformação nas molas. Determinar a carga máxima P para que a tensão nas molas não exceda a 1800 \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{2}.
DADOS:
Mola \mathrm{A}-\mathrm{n}=24 ; \mathrm{G}=8,4 \times 10^{5} \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{2} ; \mathrm{D}=10 \mathrm{~cm} ; \mathrm{d}=0,6 \mathrm{~cm}
Mola \mathrm{B}-\mathrm{n}=48 ; \mathrm{G}=4,2 \times 10^{5} \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{2} ; \mathrm{D}=15 \mathrm{~cm} ; \mathrm{d}=1,2 \mathrm{~cm}

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar a carga máxima P para que a tensão nas molas não exceda \,1800\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
Dados fornecidos (tirados do enunciado e das dimensões da figura):
  • Mola A:
    • número de espiras n_{A}=24,
    • módulo de rigidez \,G_{A}=8,4\times10^{5}\\ \mathrm{kgf/cm^{2}},
    • diâmetro médio da bobina \,D_{A}=10\\ \mathrm{cm},
    • diâmetro do fio \,d_{A}=0,6\\ \mathrm{cm}.
  • Mola B:
    • número de espiras n_{B}=48,
    • módulo de rigidez \,G_{B}=4,2\times10^{5}\\ \mathrm{kgf/cm^{2}},
    • diâmetro médio da bobina \,D_{B}=15\\ \mathrm{cm},
    • diâmetro do fio \,d_{B}=1,2\\ \mathrm{cm}.
  • Limite admissível de tensão no fio das molas: \,\tau_{\text{adm}}=1800\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
  • Distâncias entre apoio/pontos ao longo da barra (peguei essas distâncias da imagem fornecida):
    • do apoio C até a mola A: \,x_{A}=2\\ \mathrm{cm},
    • de A até B: \,2\\ \mathrm{cm} (logo x_{B}=4\\ \mathrm{cm} contado a partir de C),
    • de B até o ponto de aplicação da carga P: \,1\\ \mathrm{cm} (logo x_{P}=5\\ \mathrm{cm} contado a partir de C).
Observação importante (para ficar claro): a barra é rígida e gira em torno do apoio em C; as molas, ao serem esticadas pela rotação da barra, geram forças verticais F_{A} e F_{B}. A estratégia será:
  • calcular as rigidezes k_{A} e k_{B} das molas;
  • relacionar F_{A} e F_{B} com P por equilíbrio estático e pela relação de deslocamentos de uma barra rígida girando em torno de C;
  • impor que a tensão no fio de cada mola não ultrapasse \tau_{\text{adm}} (usar a fórmula da tensão cortante máxima com o fator de Wahl) e obter a maior P admissível; a resposta será o menor P dentre os limites dados por cada mola.

Passo 2

Fórmula da rigidez de uma mola helicoidal (princípio e aplicação)
  • Para uma mola helicoidal de seção circular e espiras próximas, a rigidez axial (constante elástica) é dada por
k=\frac{G\,d^{4}}{8\,D^{3}\,n},
onde:
  • k é a rigidez da mola (força por deslocamento), em \mathrm{kgf/cm} aqui;
  • G é o módulo de rigidez do material (em \mathrm{kgf/cm^{2}});
  • d é o diâmetro do fio (em \mathrm{cm});
  • D é o diâmetro médio da bobina (em \mathrm{cm});
  • n é o número de espiras ativas (adimensional).
Agora calculamos k_{A} e k_{B} substituindo os dados (a conta é mostrada passo a passo):
Para a mola A:
d_{A}^{4}=(0,6)^{4}=0,1296\\ \mathrm{cm^{4}},
D_{A}^{3}=(10)^{3}=1000\\ \mathrm{cm^{3}},
k_{A}=\frac{G_{A}\,d_{A}^{4}}{8\,D_{A}^{3}\,n_{A}} =\frac{8{,}4\times10^{5}\times0{,}1296}{8\times1000\times24}.
Fazendo as contas:
k_{A}\approx\frac{108864}{192000}\approx0{,}567\\ \mathrm{kgf/cm}.
Para a mola B:
d_{B}^{4}=(1{,}2)^{4}=2{,}0736\\ \mathrm{cm^{4}},
D_{B}^{3}=(15)^{3}=3375\\ \mathrm{cm^{3}},
k_{B}=\frac{G_{B}\,d_{B}^{4}}{8\,D_{B}^{3}\,n_{B}} =\frac{4{,}2\times10^{5}\times2{,}0736}{8\times3375\times48}.
Fazendo as contas:
k_{B}\approx\frac{870912}{1296000}=0{,}672\\ \mathrm{kgf/cm}.
Resumo:
k_{A}\approx0{,}567\\ \mathrm{kgf/cm},\qquad k_{B}\approx0{,}672\\ \mathrm{kgf/cm}.

Passo 3

Relação entre deslocamento da barra rígida e força nas molas
  • Se a barra gira um pequeno ângulo \theta em torno do apoio C, o deslocamento vertical (para baixo) em um ponto a uma distância x de C é aproximadamente \delta(x)=\theta\,x (pequenas rotações, barra rígida).
  • A força na mola i é então \,F_{i}=k_{i}\,\delta(x_{i})=k_{i}\,x_{i}\,\theta.
Equilíbrios estáticos (sumarizado):
  • Soma dos momentos em relação a C (o apoio em C não gera momento porque é o pivô):
F_{A}x_{A}+F_{B}x_{B}=P\,x_{P}.
  • Substituindo F_{A}=k_{A}x_{A}\theta e F_{B}=k_{B}x_{B}\theta obtemos:
\bigl(k_{A}x_{A}^{2}+k_{B}x_{B}^{2}\bigr)\theta = P\,x_{P}.
Logo o ângulo \theta é
\theta=\frac{P\,x_{P}}{k_{A}x_{A}^{2}+k_{B}x_{B}^{2}}.
  • Assim as forças nas molas, em função de P, são:
F_{A}=k_{A}x_{A}\theta = P\cdot\frac{x_{P}\,k_{A}x_{A}}{k_{A}x_{A}^{2}+k_{B}x_{B}^{2}},
F_{B}=k_{B}x_{B}\theta = P\cdot\frac{x_{P}\,k_{B}x_{B}}{k_{A}x_{A}^{2}+k_{B}x_{B}^{2}}.

Passo 4

Substituir valores numéricos para escrever F_{A} e F_{B} como frações de P
Primeiro calcule o denominador comum:
k_{A}x_{A}^{2}+k_{B}x_{B}^{2} =0{,}567\times(2)^{2}+0{,}672\times(4)^{2} =0{,}567\times4+0{,}672\times16 =2{,}268+10{,}752=13{,}020\\ (\text{unidade: kgf}\cdot\mathrm{cm}).
Agora:
F_{A}=P\cdot\frac{x_{P}\,k_{A}x_{A}}{13{,}020} = P\cdot\frac{5\times0{,}567\times2}{13{,}020} = P\times0{,}4356\approx0{,}4356\,P.
F_{B}=P\cdot\frac{5\times0{,}672\times4}{13{,}020} = P\cdot1{,}0322\approx1{,}0322\,P.
Portanto F_{A} e F_{B} aumentam linearmente com P; numericamente:
F_{A}\approx0{,}4356\,P,\qquad F_{B}\approx1{,}0322\,P.

Passo 5

Fórmula da tensão cortante máxima no fio da mola (Wahl)
  • A tensão cortante máxima em um fio de mola helicoidal carregada axialmente é aproximadamente
\tau_{\max}=\frac{8\,F\,D}{\pi d^{3}}\,K_{w},
onde:
  • F é a força axial na mola (em \mathrm{kgf}),
  • D é o diâmetro médio da bobina (em \mathrm{cm}),
  • d é o diâmetro do fio (em \mathrm{cm}),
  • K_{w} é o fator de Wahl que corrige para concentração de tensões por curvatura.
  • O fator de Wahl pode ser calculado por
K_{w}=\frac{4C-1}{4C-4}+\frac{0{,}615}{C},\quad\text{onde }C=\frac{D}{d}.
Impor que \tau_{\max}\le\tau_{\text{adm}}=1800\\ \mathrm{kgf/cm^{2}} nos dá o limite de F admissível:
F_{\text{adm}}=\frac{\pi d^{3}\,\tau_{\text{adm}}}{8\,D\,K_{w}}.
Calculemos F_{\text{adm}} para cada mola (mostrando os passos):
Para a mola A:
C_{A}=\frac{D_{A}}{d_{A}}=\frac{10}{0{,}6}=16{,}6667.
K_{wA}=\frac{4C_{A}-1}{4C_{A}-4}+\frac{0{,}615}{C_{A}} =\frac{66{,}6668-1}{66{,}6668-4}+\frac{0{,}615}{16{,}6667} \approx1{,}0480+0{,}0369\approx1{,}0849.
Agora
F_{\text{adm},A}=\frac{\pi d_{A}^{3}\tau_{\text{adm}}}{8D_{A}K_{wA}} =\frac{\pi(0{,}6)^{3}\times1800}{8\times10\times1{,}0849}.
Calculando:
d_{A}^{3}=0{,}216,\quad \pi d_{A}^{3}\tau_{\text{adm}}\approx3{,}1416\times0{,}216\times1800\approx1221{,}7,
8D_{A}K_{wA}=8\times10\times1{,}0849\approx86{,}792,
F_{\text{adm},A}\approx\frac{1221{,}7}{86{,}792}\approx14{,}07\\ \mathrm{kgf}.
Para a mola B:
C_{B}=\frac{15}{1{,}2}=12{,}5,
K_{wB}=\frac{4C_{B}-1}{4C_{B}-4}+\frac{0{,}615}{C_{B}} =\frac{50-1}{50-4}+\frac{0{,}615}{12{,}5} \approx1{,}0652+0{,}0492\approx1{,}1144.
F_{\text{adm},B}=\frac{\pi(1{,}2)^{3}\times1800}{8\times15\times1{,}1144}.
Calculando:
d_{B}^{3}=1{,}728,\quad \pi d_{B}^{3}\tau_{\text{adm}}\approx3{,}1416\times1{,}728\times1800\approx9768{,}6,
8D_{B}K_{wB}=8\times15\times1{,}1144\approx133{,}728,
F_{\text{adm},B}\approx\frac{9768{,}6}{133{,}728}\approx73{,}06\\ \mathrm{kgf}.
Interpretação: a mola A suporta até cerca de 14{,}07\\ \mathrm{kgf} sem exceder a tensão admissível; a mola B até cerca de 73{,}06\\ \mathrm{kgf}.

Passo 6

Determinar P_{\max} a partir dos limites de força nas molas
  • Como F_{A}\approx0{,}4356\,P e F_{B}\approx1{,}0322\,P, as condições de não exceder a tensão admissional são:
0{,}4356\,P\le F_{\text{adm},A}\quad\Rightarrow\quad P\le\frac{F_{\text{adm},A}}{0{,}4356},
1{,}0322\,P\le F_{\text{adm},B}\quad\Rightarrow\quad P\le\frac{F_{\text{adm},B}}{1{,}0322}.
Calculemos os dois limites:
Pela mola A:
P_{A,\max}=\frac{14{,}07}{0{,}4356}\approx32{,}31\\ \mathrm{kgf}.
Pela mola B:
P_{B,\max}=\frac{73{,}06}{1{,}0322}\approx70{,}80\\ \mathrm{kgf}.
O valor admissível real de P é o menor desses (porque ambas as molas devem respeitar o limite). Portanto:
P_{\max}=\min\{32{,}31,\;70{,}80\}\\ \mathrm{kgf}=32{,}31\\ \mathrm{kgf}.

Passo 7

Conclusão interpretativa e incentivo (curtinho e amigo)
  • A mola A é a que limita a carga porque, sendo de fio mais fino e com geometria diferente, atinge a tensão admissível primeiro.
  • Então a carga máxima que pode ser aplicada no extremo sem exceder \,1800\\ \mathrm{kgf/cm^{2}} nas molas é aproximadamente \,32{,}3\\ \mathrm{kgf}. Força curta, eu sei, mas foi ela que manda aqui — segura firme e vamos adiante!

Resposta

P_{\max}=32{,}3\\ \mathrm{kgf}

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