Uma placa semi-infinita de cobre é exposta a um fluxo de calor constante na superfície de 0,5 \mathrm{MW} / \mathrm{m}^{2}. Suponha que a placa está no vácuo, de modo que não há convecção em a superfície. Qual é a temperatura da superfície após 5 min se a temperatura inicial da placa está a 20^{\circ} \mathrm{C} ? Qual é a temperatura a uma distância de 15 cm da superfície após 5 min ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas depois de t=5 min, para uma placa semi-infinita de cobre inicialmente a 20^\circ\mathrm{C} e exposta na superfície a um fluxo de calor constante de 0{,}5\\ \mathrm{MW/m^2}:
  1. A temperatura da superfície ( x=0) após 5 min.
  2. A temperatura a x=15\\ \mathrm{cm} após 5 min.
Dados fornecidos (vou reescrever numericamente para ficar claro):
q_0 = 0{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{W/m^{2}},\qquad T_i=20^\circ\mathrm{C},\qquad t=5\\ \mathrm{min}=300\\ \mathrm{s},
x=15\\ \mathrm{cm}=0{,}15\\ \mathrm{m}.
A placa é dita semi-infinita e está no vácuo (sem convecção na superfície).

Passo 2

Qual fórmula usar — ideia e fórmula aplicada (explicação didática):
  • Para um sólido semi-infinito, com condição inicial uniforme e com um fluxo de calor constante q_0 aplicado na superfície x=0 para t>0, a solução conhecida (tabela padrão de condução transiente / Carslaw & Jaeger / Incropera) para a variação de temperatura é
T(x,t)-T_i=\frac{q_0}{k}\left[2\sqrt{\frac{\alpha t}{\pi}}\;e^{-\,\frac{x^2}{4\alpha t}}-x\;\mathrm{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right)\right].
  • Nesta fórmula:
    • T(x,t) é a temperatura no ponto x e tempo t.
    • T_i é a temperatura inicial uniforme.
    • q_0 é o fluxo de calor na superfície (positivo quando entrando no sólido).
    • k é a condutividade térmica do material.
    • \alpha é a difusividade térmica do material, definida por \alpha=\dfrac{k}{\rho c}, onde \rho é a massa específica e c o calor específico.
    • \mathrm{erfc}(\cdot) é a função complementar do erro: \mathrm{erfc}(z)=1-\mathrm{erf}(z).
  • Em particular, para a superfície x=0 a expressão simplifica (pois o termo com x some):
T(0,t)-T_i=\frac{2q_0}{k}\sqrt{\frac{\alpha t}{\pi}}.
  • Vou usar esses resultados e explicar cada passo numérico.

Passo 3

Propriedades do cobre adotadas (valores típicos tabelados) — explico porque escolho estes valores:
  • Condutividade térmica: k=401\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Densidade: \rho=8960\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Calor específico: c=385\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
    Esses são valores padrão para cobre puro; como o enunciado não deu propriedades, usamos estes para calcular a difusividade térmica:
\alpha=\frac{k}{\rho c}=\frac{401}{8960\cdot385}.
Calculemos num passo a passo:
\rho c = 8960\cdot385 = 3\,449\,600\\ \mathrm{J/(m^3\cdot K)}.
\alpha=\frac{401}{3\,449\,600}\approx 1{,}1625\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2/s}.

Passo 4

Cálculo da temperatura da superfície ( x=0) após t=300\\ \mathrm{s}:
  • Primeiro calcule \sqrt{\alpha t} e \sqrt{\dfrac{\alpha t}{\pi}}:
\sqrt{\alpha t}=\sqrt{1{,}1625\times10^{-4}\cdot300}=\sqrt{0{,}034875}\approx 0{,}1867\\ \mathrm{m}.
\sqrt{\frac{\alpha t}{\pi}}=\frac{\sqrt{\alpha t}}{\sqrt{\pi}}=\frac{0{,}1867}{1{,}77245}\approx 0{,}1054\\ \mathrm{m}.
  • Aplicando a fórmula para x=0:
T(0,t)-T_i=\frac{2q_0}{k}\sqrt{\frac{\alpha t}{\pi}} =\frac{2\cdot(0{,}5\times10^{6})}{401}\cdot0{,}1054.
Calcule passo a passo:
\frac{2\cdot(0{,}5\times10^{6})}{401}=\frac{1{,}0\times10^{6}}{401}\approx 2493{,}77\\ \mathrm{(K/m)}.
Multiplicando por 0{,}1054\\ \mathrm{m}:
T(0,t)-T_i \approx 2493{,}77\cdot0{,}1054\approx 262{,}8\\ \mathrm{K}.
Portanto a temperatura da superfície é
T(0,t)=T_i+(T(0,t)-T_i)\approx 20^\circ\mathrm{C}+262{,}8\\ \mathrm{K}\approx 282{,}8^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Cálculo da temperatura em x=0{,}15\\ \mathrm{m} após t=300\\ \mathrm{s}:
  • Primeiro calcule os termos que aparecem na fórmula geral:
\frac{x^2}{4\alpha t}=\frac{(0{,}15)^2}{4\cdot1{,}1625\times10^{-4}\cdot300} =\frac{0{,}0225}{0{,}1395}\approx 0{,}1613.
\exp\!\left(-\frac{x^2}{4\alpha t}\right)=e^{-0{,}1613}\approx 0{,}8512.
O parâmetro da função erro complementar:
\eta=\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}=\frac{0{,}15}{2\cdot0{,}1867}\approx 0{,}4017.
  • Agora precisamos de \mathrm{erfc}(\eta). Usando valores tabelados / aproximação da função erro:
\mathrm{erf}(0{,}4017)\approx 0{,}4299\quad\Rightarrow\quad \mathrm{erfc}(0{,}4017)=1-\mathrm{erf}(0{,}4017)\approx 0{,}5701.
(Expliquei: eu estimei \mathrm{erf} com aproximação linear local a partir de tabelas; esta precisão é suficiente para o problema de prova.)
  • Agora calcule os dois termos dentro dos colchetes:
2\sqrt{\frac{\alpha t}{\pi}}\;e^{-x^2/(4\alpha t)}=2\cdot0{,}1054\cdot0{,}8512\approx 0{,}1794\\ \mathrm{m},
x\;\mathrm{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right)=0{,}15\cdot0{,}5701\approx 0{,}0855\\ \mathrm{m}.
Diferença:
\Big[\,\cdots\Big]=0{,}1794-0{,}0855=0{,}0939\\ \mathrm{m}.
  • Finalmente, multiplicando por q_0/k:
\frac{q_0}{k}=\frac{0{,}5\times10^{6}}{401}\approx 1246{,}88\\ \mathrm{K/m}.
T(0{,}15,t)-T_i=\frac{q_0}{k}\cdot0{,}0939\approx 1246{,}88\cdot0{,}0939\approx 117{,}0\\ \mathrm{K}.
Portanto
T(0{,}15,t)=T_i+117{,}0\\ \mathrm{K}\approx 20^\circ\mathrm{C}+117{,}0^\circ\mathrm{C}\approx 137{,}0^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Verificação rápida da hipótese semi-infinita (intuição):
  • A profundidade de penetração térmica típica é da ordem de \sqrt{\alpha t}\approx 0{,}1867\\ \mathrm{m}.
  • Como x=0{,}15\\ \mathrm{m} é da mesma ordem (um pouco menor) que \sqrt{\alpha t}, a suposição semi-infinita dada no enunciado é razoável para aplicar as fórmulas usadas. Em problemas de prova isso normalmente é aceitável quando a espessura real é muito maior que essa penetração; aqui o enunciado já declarou semi-infinito.

Resposta

Temperatura da superfície após 5 min: T(0,5\\ \text{min})\approx 282{,}8^\circ\mathrm{C}
Temperatura a 15\\ \mathrm{cm} após 5 min: T(0{,}15\\ \mathrm{m},5\\ \text{min})\approx 137{,}0^\circ\mathrm{C}

Exercícios relacionados