Uma placa semi-infinita de cobre é exposta a um fluxo de calor constante na superfície de 0,5
. Suponha que a placa está no vácuo, de modo que não há convecção em a superfície. Qual é a temperatura da superfície após 5 min se a temperatura inicial da placa está a
? Qual é a temperatura a uma distância de 15 cm da superfície após 5 min ?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas depois de
min, para uma placa semi-infinita de cobre inicialmente a
e exposta na superfície a um fluxo de calor constante de
:
- A temperatura da superfície (
) após min. - A temperatura a
após min.
Dados fornecidos (vou reescrever numericamente para ficar claro):
A placa é dita semi-infinita e está no vácuo (sem convecção na superfície).
Passo 2
Qual fórmula usar — ideia e fórmula aplicada (explicação didática):
- Para um sólido semi-infinito, com condição inicial uniforme e com um fluxo de calor constante
aplicado na superfície para , a solução conhecida (tabela padrão de condução transiente / Carslaw & Jaeger / Incropera) para a variação de temperatura é
- Nesta fórmula:
-
é a temperatura no ponto e tempo . -
é a temperatura inicial uniforme. -
é o fluxo de calor na superfície (positivo quando entrando no sólido). -
é a condutividade térmica do material. -
é a difusividade térmica do material, definida por , onde é a massa específica e o calor específico. -
é a função complementar do erro: .
-
- Em particular, para a superfície
a expressão simplifica (pois o termo com some):
- Vou usar esses resultados e explicar cada passo numérico.
Passo 3
Propriedades do cobre adotadas (valores típicos tabelados) — explico porque escolho estes valores:
- Condutividade térmica:
. - Densidade:
. - Calor específico:
.
Esses são valores padrão para cobre puro; como o enunciado não deu propriedades, usamos estes para calcular a difusividade térmica:
Calculemos num passo a passo:
Passo 4
Cálculo da temperatura da superfície (
) após
:
- Primeiro calcule
e :
- Aplicando a fórmula para
:
Calcule passo a passo:
Multiplicando por
:
Portanto a temperatura da superfície é
Passo 5
Cálculo da temperatura em
após
:
- Primeiro calcule os termos que aparecem na fórmula geral:
O parâmetro da função erro complementar:
- Agora precisamos de
. Usando valores tabelados / aproximação da função erro:
(Expliquei: eu estimei
com aproximação linear local a partir de tabelas; esta precisão é suficiente para o problema de prova.)
- Agora calcule os dois termos dentro dos colchetes:
Diferença:
- Finalmente, multiplicando por
:
Portanto
Passo 6
Verificação rápida da hipótese semi-infinita (intuição):
- A profundidade de penetração térmica típica é da ordem de
. - Como
é da mesma ordem (um pouco menor) que , a suposição semi-infinita dada no enunciado é razoável para aplicar as fórmulas usadas. Em problemas de prova isso normalmente é aceitável quando a espessura real é muito maior que essa penetração; aqui o enunciado já declarou semi-infinito.
Resposta
Temperatura da superfície após 5 min:
Temperatura a após 5 min:
Temperatura a