Uma operação de brasagem é realizada em um forno evacuado. As peças de metal a serem brasadas têm uma geometria complexa; eles são feitos de bronze ( com k=50 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}, c=500 \mathrm{~J} / \mathrm{kgK}, \mathrm{e} \rho=8700 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) e têm volume total de V=10 \mathrm{~cm}^{3} e área superficial total A_{s}=35 \mathrm{~cm}^{2}. As peças são aquecidas por transferência de calor de radiação das paredes do forno. Para este problema, assuma que a emissividade da superfície da peça é \varepsilon=0,8 e que a parede do forno é preta. Neste limite, a taxa de transferência de calor da radiação da parede para a peça pode ser escrita como:
q_{R a d}=A_{s} \varepsilon \sigma\left(T_{w}^{4}-T^{4}\right)
onde T_{w} é a temperatura da parede, T é a temperatura da superfície da peça e \sigma é a constante de Stefan Boltzmann. A temperatura da parede do forno é aumentada a uma taxa constante \beta=1 \mathrm{~K} / \mathrm{s} de sua temperatura inicial T_{\text {ini }}=20^{\circ} \mathrm{C} até sua temperatura final T_{f}=470^{\circ} \mathrm{C}. As peças e o forno estão inicialmente em equilíbrio térmico em T_{t=0}=T_{i n i}. A suposição de capacitância concentrada para um h_{\text {Rad,máx }}á é apropriada para esse problema? Caso afirmativo, calcule uma constante de tempo de capacitância concentrada que caracteriza o processo de brasagem.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Verificar se a suposição de capacitância concentrada (modelo lumped) é apropriada usando um valor máximo equivalente de coeficiente convectivo por radiação h_{\text{Rad,máx}}á.
  • Se for apropriada, calcular uma constante de tempo de capacitância concentrada que caracterize o aquecimento.
Informações fornecidas (vou reescrever em SI e em forma organizada):
\begin{aligned} &k=50\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\\\ &c=500\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\\\ &\rho=8700\\ \mathrm{kg/m^{3}},\\\ &V=10\\ \mathrm{cm^{3}}=1{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}},\\\ &A_{s}=35\\ \mathrm{cm^{2}}=3{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}},\\\ &\varepsilon=0{,}8,\\\ &\sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K^{4})},\\\ &T_{\text{ini}}=20^\circ\mathrm{C}=293{,}15\\ \mathrm{K},\\\ &T_{f}=470^\circ\mathrm{C}=743{,}15\\ \mathrm{K},\\\ &\beta=1\\ \mathrm{K/s}. \end{aligned}
Observação do enunciado: a parede do forno é preta, logo troca radiativa dada por
q_{\text{Rad}}=A_{s}\varepsilon\sigma\left(T_{w}^{4}-T^{4}\right).

Passo 2

Entendendo a suposição de capacitância concentrada (lumped):
  • A suposição de lumped diz que o corpo tem temperatura espacialmente uniforme (só depende do tempo). Isso é razoável quando a resistência térmica por condução interna é muito menor que a resistência térmica de troca entre a superfície e o meio exterior.
  • Critério usual: número de Biot \mathrm{Bi}=\dfrac{h L_{c}}{k} deve ser \mathrm{Bi}\lesssim0{,}1. Aqui h é o coeficiente de transferência de calor superficial equivalente (W/m²K), L_{c} é o comprimento característico definido por
L_{c}=\dfrac{V}{A_{s}},
e k é a condutividade térmica do sólido.
  • Se \mathrm{Bi}\ll0{,}1 então temperatura interna varia pouco e o modelo lumped é apropriado.
Como obter h para radiação:
  • Podemos linearizar a expressão radiativa em torno de uma diferença de temperatura, escrevendo
q_{\text{Rad}}=A_{s}\,h_{\text{Rad}}(T_{w}-T),
onde, pela álgebra,
h_{\text{Rad}}=\varepsilon\sigma\left(T_{w}^{3}+T_{w}^{2}T+T_{w}T^{2}+T^{3}\right).
  • Para testar a validade do lumped com segurança (caso conservador), usamos o maior valor possível de h_{\text{Rad}} ao longo do processo, que ocorre quando T_{w} é máximo e T é mínimo (maior gradiente combinado): isto é, T_{w}=T_{f}=743{,}15\\ \mathrm{K} e T=T_{\text{ini}}=293{,}15\\ \mathrm{K}. Denotamos esse valor por h_{\text{Rad,máx}}á.

Passo 3

Cálculo numérico passo a passo de L_{c}, dos termos cúbicos e de h_{\text{Rad,máx}}á:
  1. Comprimento característico:
L_{c}=\dfrac{V}{A_{s}}=\dfrac{1{,}0\times10^{-5}}{3{,}5\times10^{-3}}=2{,}857142857\times10^{-3}\\ \mathrm{m}\approx2{,}857\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  1. Calcular os termos cúbicos com T_{w}=743{,}15\\ \mathrm{K} e T=293{,}15\\ \mathrm{K}:
\begin{aligned} T_{w}^{3}&\approx4{,}10420879\times10^{8}\\ \mathrm{K^{3}},\\\ T_{w}^{2}T&\approx1{,}61898514\times10^{8}\\ \mathrm{K^{3}},\\\ T_{w}T^{2}&\approx6{,}38640240\times10^{7}\\ \mathrm{K^{3}},\\\ T^{3}&\approx2{,}51924088\times10^{7}\\ \mathrm{K^{3}}. \end{aligned}
Somando:
T_{w}^{3}+T_{w}^{2}T+T_{w}T^{2}+T^{3}\approx6{,}613758260735\times10^{8}\\ \mathrm{K^{3}}.
  1. Agora h_{\text{Rad,máx}}á:
\begin{aligned} h_{\text{Rad,máx}}&=\varepsilon\sigma\left(\sum\right)\\[4pt] &=0{,}8\times5{,}670374419\times10^{-8}\times6{,}613758260735\times10^{8}\\[4pt] &\approx30{,}0\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}. \end{aligned}á
(Detalhe numérico: o produto \sigma\times soma ficou aproximadamente 37{,}503\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)} e multiplicando por \varepsilon=0{,}8 obtivemos \approx30{,}00\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.)]

Passo 4

Cálculo do número de Biot e conclusão sobre a suposição lumped:
  1. Biot:
\mathrm{Bi}=\dfrac{h_{\text{Rad,máx}}\,L_{c}}{k} =\dfrac{30{,}00\times2{,}857\times10^{-3}}{50} \approx1{,}714\times10^{-3}.á
Comparação com o critério: \mathrm{Bi}\approx0{,}0017\ll0{,}1. Logo a suposição de capacitância concentrada é certamente apropriada (a resistência interna por condução é muito menor que a resistência de troca radiativa).

Passo 5

Cálculo da constante de tempo de capacitância concentrada \tau:
  • Para um corpo lumped com coeficiente de troca h e área A_{s}, a constante de tempo é
\tau=\dfrac{m c}{h A_{s}},
onde m=\rho V.
  1. Massa:
m=\rho V=8700\times1{,}0\times10^{-5}=0{,}087\\ \mathrm{kg}.
  1. Capacitância térmica:
m c=0{,}087\times500=43{,}5\\ \mathrm{J/K}.
  1. Produto hA_{s}:
h_{\text{Rad,máx}}A_{s}=30{,}00\times3{,}5\times10^{-3}\approx0{,}1050\\ \mathrm{W/K}.á
  1. Constante de tempo:
\tau=\dfrac{43{,}5}{0{,}1050}\approx414{,}3\\ \mathrm{s}\approx6{,}9\\ \text{min}.
Interpretação rápida: usar h_{\text{Rad,máx}}á deu uma \tau conservadora (menor que a que se teria para h menor). Note também que a rampa da parede é de \beta=1\\ \mathrm{K/s}, então o tempo total de subida da parede é 450\\ \mathrm{s} (de 293{,}15 a 743{,}15\\ \mathrm{K}), do mesmo orde de grandeza de \tau — isso significa que a transiente de aquecimento é importante e a \tau calculada fornece a escala de tempo relevante do aquecimento da peça.

Resposta

Sim. \tau\approx4{,}14\times10^{2}\\ \mathrm{s} (aprox. 6{,}9\\ \mathrm{min}).

Exercícios relacionados