Uma operação de brasagem é realizada em um forno evacuado. As peças de metal a serem brasadas têm uma geometria complexa; eles são feitos de bronze ( com
) e têm volume total de
e área superficial total
. As peças são aquecidas por transferência de calor de radiação das paredes do forno. Para este problema, assuma que a emissividade da superfície da peça é
e que a parede do forno é preta. Neste limite, a taxa de transferência de calor da radiação da parede para a peça pode ser escrita como:
onde
é a temperatura da parede,
é a temperatura da superfície da peça e
é a constante de Stefan Boltzmann. A temperatura da parede do forno é aumentada a uma taxa constante
de sua temperatura inicial
até sua temperatura final
. As peças e o forno estão inicialmente em equilíbrio térmico em
. A suposição de capacitância concentrada para um
é apropriada para esse problema? Caso afirmativo, calcule uma constante de tempo de capacitância concentrada que caracteriza o processo de brasagem.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Verificar se a suposição de capacitância concentrada (modelo lumped) é apropriada usando um valor máximo equivalente de coeficiente convectivo por radiação
. - Se for apropriada, calcular uma constante de tempo de capacitância concentrada que caracterize o aquecimento.
Informações fornecidas (vou reescrever em SI e em forma organizada):
Observação do enunciado: a parede do forno é preta, logo troca radiativa dada por
Passo 2
Entendendo a suposição de capacitância concentrada (lumped):
- A suposição de lumped diz que o corpo tem temperatura espacialmente uniforme (só depende do tempo). Isso é razoável quando a resistência térmica por condução interna é muito menor que a resistência térmica de troca entre a superfície e o meio exterior.
- Critério usual: número de Biot
deve ser . Aqui é o coeficiente de transferência de calor superficial equivalente (W/m²K), é o comprimento característico definido por
e
é a condutividade térmica do sólido.
- Se
então temperatura interna varia pouco e o modelo lumped é apropriado.
Como obter
para radiação:
- Podemos linearizar a expressão radiativa em torno de uma diferença de temperatura, escrevendo
onde, pela álgebra,
- Para testar a validade do lumped com segurança (caso conservador), usamos o maior valor possível de
ao longo do processo, que ocorre quando é máximo e é mínimo (maior gradiente combinado): isto é, e . Denotamos esse valor por .
Passo 3
Cálculo numérico passo a passo de
, dos termos cúbicos e de
:
- Comprimento característico:
- Calcular os termos cúbicos com
e :
Somando:
- Agora
:
(Detalhe numérico: o produto
soma ficou aproximadamente
e multiplicando por
obtivemos
.)]
Passo 4
Cálculo do número de Biot e conclusão sobre a suposição lumped:
- Biot:
Comparação com o critério:
. Logo a suposição de capacitância concentrada é certamente apropriada (a resistência interna por condução é muito menor que a resistência de troca radiativa).
Passo 5
Cálculo da constante de tempo de capacitância concentrada
:
- Para um corpo lumped com coeficiente de troca
e área , a constante de tempo é
onde
.
- Massa:
- Capacitância térmica:
- Produto
:
- Constante de tempo:
Interpretação rápida: usar
deu uma
conservadora (menor que a que se teria para
menor). Note também que a rampa da parede é de
, então o tempo total de subida da parede é
(de
a
), do mesmo orde de grandeza de
— isso significa que a transiente de aquecimento é importante e a
calculada fornece a escala de tempo relevante do aquecimento da peça.
Resposta
Sim.
(aprox.
).