A água escoa de forma ascendente em um tubo de Venturi de diâmetro de \mathrm{D}=300 \mathrm{~mm} e \mathrm{d}=150 \mathrm{~mm}, observa-se que a deflexão no manômetro é de 1800 mm (líquido manométrico com densidade relativa de 1,25 ). Determinar a vazão.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a vazão volumétrica:
  • Diâmetro maior: \mathrm{D}=300\\ \mathrm{mm}=0{,}300\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro menor (garganta): \mathrm{d}=150\\ \mathrm{mm}=0{,}150\\ \mathrm{m}.
  • Deflexão no manômetro: \mathrm{h_m}=1800\\ \mathrm{mm}=1{,}800\\ \mathrm{m}.
  • Densidade relativa do líquido do manômetro: 1{,}25 (ou seja, \rho_m=1{,}25\,\rho, onde \rho é a densidade da água).
  • O fluido que escoa é água (densidade \rho; usaremos que a razão com \rho_m é dada).
  • Pergunta: determinar a vazão volumétrica Q da água.
Observação: o enunciado não dá diferença de elevação entre as tomadas de pressão; adotaremos que as tomadas estão ao mesmo nível (ou que a diferença de elevação é desprezível), o que é a hipótese padrão para este tipo de exercício e nos permite usar Bernoulli entre as duas seções com cancelamento dos termos de \rho g z.

Passo 2

Conservação de massa (continuidade) para escoamento incompressível relaciona áreas e velocidades:
A_1 v_1 = A_2 v_2,
onde A_1 e A_2 são as áreas das seções de diâmetros \mathrm{D} e \mathrm{d} e v_1,v_2 as velocidades médias nessas seções.
Cálculo das áreas:
A_1 = \frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi (0{,}300)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}0225\\ \mathrm{m}^2,
A_2 = \frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi (0{,}150)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}005625\\ \mathrm{m}^2.
Relação entre áreas (mais simples via razão de diâmetros):
\frac{A_1}{A_2}=\left(\frac{D}{d}\right)^2=\left(\frac{0{,}300}{0{,}150}\right)^2=2^2=4.
Portanto, pela continuidade:
v_2 = \frac{A_1}{A_2}\,v_1 = 4\,v_1.

Passo 3

Aplicamos Bernoulli entre as seções 1 e 2 (desprezando perdas) — explicando a fórmula para você: Bernoulli diz que a soma da pressão estática, energia cinética por unidade de volume e energia potencial por unidade de volume é constante ao longo de uma linha de corrente. Em forma conveniente:
p_1+\tfrac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g z_1 = p_2+\tfrac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g z_2.
Como assumimos z_1=z_2, os termos \rho g z cancelam e temos:
p_1 - p_2 = \tfrac{1}{2}\rho\left(v_2^2 - v_1^2\right).
Substituindo v_2=4v_1:
p_1 - p_2 = \tfrac{1}{2}\rho\left((4v_1)^2 - v_1^2\right) = \tfrac{1}{2}\rho(16v_1^2 - v_1^2) = \tfrac{15}{2}\,\rho\,v_1^2.
Aqui p_1-p_2 é a diferença de pressão entre a seção de diâmetro maior e a garganta; \rho é a densidade da água; v_1 é a velocidade média na seção maior.

Passo 4

Relação manométrica: a deflexão \mathrm{h_m} do manômetro de líquido de densidade \rho_m ligado entre os dois pontos dá a diferença de pressão. Explicando o raciocínio hidrostaticamente: ao seguir uma coluna do manômetro até um nível comum, equacionamos pressões e obtemos a relação padrão
p_1 - p_2 = (\rho_m - \rho)\,g\,h_m.
Aqui \rho_m é a densidade do líquido do manômetro ( \rho_m=1{,}25\,\rho), \rho é a densidade da água que está sendo medida, g a aceleração da gravidade e h_m a deflexão observada. Essa fórmula vem do fato de que a diferença de pressão entre as duas bocas é equilibrada pela diferença de peso das colunas dos dois líquidos no manômetro.

Passo 5

Agora igualamos as duas expressões para p_1-p_2:
\tfrac{15}{2}\,\rho\,v_1^2 = (\rho_m - \rho)\,g\,h_m.
Isolando v_1:
v_1^2 = \frac{2(\rho_m - \rho)\,g\,h_m}{15\rho}.
Substituindo \rho_m=1{,}25\,\rho (logo \rho_m-\rho=0{,}25\,\rho) simplifica fortemente pois \rho cancela:
v_1^2 = \frac{2(0{,}25\rho)\,g\,h_m}{15\rho} = \frac{0{,}5\,g\,h_m}{15} = \frac{g\,h_m}{30}.
Portanto a velocidade na seção maior é
v_1 = \sqrt{\frac{g\,h_m}{30}}.

Passo 6

Agora calculamos numericamente. Usando g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} e h_m=1{,}800\\ \mathrm{m}:
v_1 = \sqrt{\frac{9{,}81\times 1{,}800}{30}} = \sqrt{\frac{17{,}658}{30}} = \sqrt{0{,}5886\ldots} \approx 0{,}7670\\ \mathrm{m/s}.
Área da seção maior (relembrando):
A_1 = \frac{\pi D^2}{4} = \pi\cdot 0{,}0225 \approx 0{,}0706858\\ \mathrm{m^2}.
Vazão volumétrica:
Q = A_1 v_1 \approx 0{,}0706858\times 0{,}7670 \approx 0{,}05420\\ \mathrm{m^3/s}.
Convertendo para litros por segundo:
Q \approx 54{,}2\\ \mathrm{L/s}.

Resposta

Q \approx 0{,}05420\\ \mathrm{m^3/s}
Q \approx 54{,}2\\ \mathrm{L/s}

Exercícios relacionados