Entre as placas de um capacitor circular de raio 6,0 \mathrm{~cm}, a densidade de corrente de deslocamento é uniforme e igual a 12 \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2}.
a) Calcule a corrente de deslocamento total.
b) Determine o campo magnético a uma distância \mathrm{r}=3,0 \mathrm{~cm} do eixo do capacitor.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei todos esses números do enunciado):
  • Raio das placas do capacitor: R=6{,}0\\ \mathrm{cm}=0,06\\ \mathrm{m}.
  • Densidade de corrente de deslocamento, uniforme entre as placas: J_d=12\\ \mathrm{A}\,\mathrm{m}^{-2}.
  • Pede:
    (a) a corrente de deslocamento total I_d que atravessa a região entre as placas;
    (b) o campo magnético \mathbf{B} a uma distância r=3{,}0\\ \mathrm{cm}=0,03\\ \mathrm{m} do eixo do capacitor.

Passo 2

Conceitos básicos (explicação didática e necessária para a prova).
  • Densidade de corrente de deslocamento J_d é a corrente de deslocamento por unidade de área. Quando J_d é uniforme, a corrente de deslocamento total que atravessa uma área A é
I_d=\int_A J_d\,dA = J_d A.
Aqui J_d tem unidades de \mathrm{A}\,\mathrm{m}^{-2}, A tem unidades de \mathrm{m}^2 e I_d resulta em ampères (\mathrm{A}).
  • Para obter o campo magnético gerado por uma corrente de deslocamento (entre as placas) usamos a lei de Ampère-Maxwell no vácuo (forma integral):
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_0 I_{\text{enc,cond}}+\mu_0 I_{d,\text{enc}},
onde I_{d,\text{enc}} é a corrente de deslocamento atravessando a superfície limitada pela curva de integração. No nosso caso não há corrente de condução entre as placas, só deslocamento, então
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_0 I_{d,\text{enc}}.
  • Simetria: para um capacitor circular, o campo magnético \mathbf{B} produzido pelo fluxo de deslocamento é tangencial (circunferencial) e tem módulo constante em torno de um círculo de raio r concêntrico ao eixo. Assim \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=B(2\pi r).

Passo 3

Resolver (a) — corrente de deslocamento total.
  • A área da placa circular de raio R é A=\pi R^2. Como J_d é uniforme,
I_d=J_d A=J_d \pi R^2.
  • Substituindo os valores (todos em unidades SI):
I_d = 12\\ \mathrm{A}\,\mathrm{m}^{-2}\times\pi\times(0,06\\ \mathrm{m})^2.
  • Calcule passo a passo:
(0,06)^2=0,0036, \qquad 12\times0,0036=0,0432,
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I_d=0,0432\pi\\ \mathrm{A}.
  • Avaliando numericamente:
I_d\approx 0,0432\times3{,}1416 \approx 0,1357\\ \mathrm{A}.
Arredondando razoavelmente para três algarismos significativos:
I_d\approx0,136\\ \mathrm{A}.

Passo 4

Resolver (b) — campo magnético a uma distância r=0,03\\ \mathrm{m} do eixo.
  • Pelo raciocínio de simetria e pela forma integral da lei de Ampère-Maxwell, tomando uma curva circular de raio r concêntrica ao eixo:
B(2\pi r)=\mu_0 I_{d,\text{enc}}.
  • A corrente de deslocamento encerrada por essa curva é a corrente atravessando a área do disco de raio r. Como J_d é uniforme,
I_{d,\text{enc}}=J_d \pi r^2.
  • Substituindo em Ampère-Maxwell:
B(2\pi r)=\mu_0 J_d \pi r^2.
  • Isolando B:
B=\frac{\mu_0 J_d \pi r^2}{2\pi r}=\frac{\mu_0 J_d r}{2}.
Esta expressão é muito prática: para densidade de corrente de deslocamento uniforme, o campo magnético cresce linearmente com r (dentro do raio das placas).

Passo 5

Calcular numericamente B em r=0,03\\ \mathrm{m}.
  • Use \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H}\,\mathrm{m}^{-1} (ou \mathrm{N}\,\mathrm{A}^{-2}).
  • Substituindo:
B=\frac{(4\pi\times10^{-7})\;J_d\;r}{2}.
  • Colocando J_d=12\\ \mathrm{A}\,\mathrm{m}^{-2} e r=0,03\\ \mathrm{m}:
B=\frac{4\pi\times10^{-7}\times 12\times 0,03}{2}\\ \mathrm{T}.
  • Calcule passo a passo:
4\times12\times0,03=1,44, \qquad \frac{1,44}{2}=0,72,
então
B=0,72\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.
  • Avaliando numericamente:
0,72\pi\times10^{-7}\approx 2,262\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.
Arredondando para três algarismos significativos:
B\approx 2,26\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.
  • Direção: \mathbf{B} é tangencial (circunferencial) ao redor do eixo; o sentido é dado pela regra da mão direita aplicada à corrente de deslocamento (se a corrente efetiva atravessa do polo positivo para o negativo, o campo circula conforme a regra da mão direita).

Resposta

I_d\approx0,136\\ \mathrm{A}
B(r=0,03\\ \mathrm{m})\approx 2{,}26\times10^{-7}\\ \mathrm{T} (direção tangencial, sentido dado pela regra da mão direita)

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