Entre as placas de um capacitor circular de raio
, a densidade de corrente de deslocamento é uniforme e igual a
.
a) Calcule a corrente de deslocamento total.
b) Determine o campo magnético a uma distância
do eixo do capacitor.
a) Calcule a corrente de deslocamento total.
b) Determine o campo magnético a uma distância
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (peguei todos esses números do enunciado):
- Raio das placas do capacitor:
. - Densidade de corrente de deslocamento, uniforme entre as placas:
. - Pede:
(a) a corrente de deslocamento totalque atravessa a região entre as placas;
(b) o campo magnéticoa uma distância do eixo do capacitor.
Passo 2
Conceitos básicos (explicação didática e necessária para a prova).
- Densidade de corrente de deslocamento
é a corrente de deslocamento por unidade de área. Quando é uniforme, a corrente de deslocamento total que atravessa uma área é
Aqui
tem unidades de
,
tem unidades de
e
resulta em ampères
.
- Para obter o campo magnético gerado por uma corrente de deslocamento (entre as placas) usamos a lei de Ampère-Maxwell no vácuo (forma integral):
onde
é a corrente de deslocamento atravessando a superfície limitada pela curva de integração. No nosso caso não há corrente de condução entre as placas, só deslocamento, então
- Simetria: para um capacitor circular, o campo magnético
produzido pelo fluxo de deslocamento é tangencial (circunferencial) e tem módulo constante em torno de um círculo de raio concêntrico ao eixo. Assim .
Passo 3
Resolver (a) — corrente de deslocamento total.
- A área da placa circular de raio
é . Como é uniforme,
- Substituindo os valores (todos em unidades SI):
- Calcule passo a passo:
logo
- Avaliando numericamente:
Arredondando razoavelmente para três algarismos significativos:
Passo 4
Resolver (b) — campo magnético a uma distância
do eixo.
- Pelo raciocínio de simetria e pela forma integral da lei de Ampère-Maxwell, tomando uma curva circular de raio
concêntrica ao eixo:
- A corrente de deslocamento encerrada por essa curva é a corrente atravessando a área do disco de raio
. Como é uniforme,
- Substituindo em Ampère-Maxwell:
- Isolando
:
Esta expressão é muito prática: para densidade de corrente de deslocamento uniforme, o campo magnético cresce linearmente com
(dentro do raio das placas).
Passo 5
Calcular numericamente
em
.
- Use
(ou ). - Substituindo:
- Colocando
e :
- Calcule passo a passo:
então
- Avaliando numericamente:
Arredondando para três algarismos significativos:
- Direção:
é tangencial (circunferencial) ao redor do eixo; o sentido é dado pela regra da mão direita aplicada à corrente de deslocamento (se a corrente efetiva atravessa do polo positivo para o negativo, o campo circula conforme a regra da mão direita).