Um fio semiinfinito com densidade linear uniforme de carga constante
está localizada ao longo do eixo
no intervalo
. Calcule o vetor campo elétrico em um ponto qualquer do plano
, sabendo que a permissividade elétrica do meio é
.
Passo 1
O enunciado pede o vetor campo elétrico num ponto qualquer do plano
produzido por um fio semiinfinito carregado com densidade linear
, situado ao longo do eixo
no intervalo
. Dados/restrições importantes que temos:
- A carga está distribuída ao longo da reta
, para . - A densidade linear de carga é constante:
(unidade: C/m). - A permissividade do meio é
. - O ponto de observação é um ponto arbitrário do plano
, cujas coordenadas chamamos de (esses não são as coordenadas dos elementos de carga).
O que se pede: encontrar, o vetor campo elétrico no ponto .
Passo 2
Vamos aplicar a lei de Coulomb para uma distribuição contínua de carga. Um elemento de carga situado em
(no fio) tem:
A posição do elemento de carga é
. A posição do ponto de observação é
. Definimos o vetor que vai da carga até o ponto:
O módulo é
Pela lei de Coulomb, o diferencial do campo elétrico devido a
é
Aqui
. Agora somamos (integramos) todas as contribuições para
de
a
.
Passo 3
Escrevemos as componentes
e
do campo a integrar:
As integrais são (com
variando de
a
):
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 4
Cálculo de
. Faça a substituição conveniente
Quando
temos
. Quando
temos
. Assim
Para calcular a integral use a substituição
, de modo que
e
. Então
A primitiva de
é
, logo
Portanto
Passo 5
Cálculo de
. Novamente fazemos
(mesma substituição), obtendo
Precisamos da integral
Uma primitiva pode ser mostrada (verificação por derivação) como
Aqui
corresponde a
, mas vamos tomar
. Avaliando de
até
obtemos
O primeiro termo tende a
(pois para grandes
,
). Assim
Multiplicando por
e pelo fator fora da integral,
Observação sobre o sinal: essa expressão funciona tanto para
(dá
) quanto para
(dá
), o que está consistente fisicamente (o campo aponta para fora do fio se a carga for positiva).
Passo 6
Juntando as componentes, o campo elétrico no ponto
é
Uma forma alternativa, sem divisão explícita por
, é
Essa é a expressão final do campo. Algumas observações rápidas e úteis para a prova:
- Para
o componente é positivo (campo aponta para cima); para , é negativo. - Quando o ponto está muito distante (
grande) o campo decai como na componente (comportamento típico de uma linha longa), e a parte angular aparece na componente . - No eixo
(sobre a reta do fio): a expressão tem limite singular se o ponto coincide com o fio; para pontos sobre o eixo positivo com deve-se tomar cuidado com o limite e o sentido do campo.