Planejamento para o experimento de campo magnético
- Escreva a equação matemática do campo magnético de uma bobina (solenoide)? Não esqueça de identificar cada grandeza da equação.
Passo 1
O enunciado pede que eu escreva a equação matemática do campo magnético de uma bobina (solenoide) e que eu identifique cada grandeza da equação.
Informações dadas no enunciado: apenas o pedido da equação (não há números específicos nem figura).
Informações dadas no enunciado: apenas o pedido da equação (não há números específicos nem figura).
Passo 2
Antes de escrever a fórmula, vamos entender o que é o campo magnético que queremos descrever.
- O campo magnético costuma ser representado por
(ou apenas quando interessa apenas o módulo). - A unidade de
no SI é o tesla, escrito . - Para uma bobina longa (solenoide) com correntes estacionárias, a maneira mais simples e direta de obter o campo no interior é usar a Lei de Ampère (versão integral), que diz:
onde
é a permeabilidade do vácuo e
é a corrente elétrica total atravessando a superfície limitada pelo caminho fechado da integral. Vou explicar cada termo quando aplicar a lei.
Passo 3
Derivação passo a passo para o solenoide longo (caso idealizado)
- Considere uma bobina longa, de comprimento
, com espiras uniformemente distribuídas ao longo de . Definimos a densidade de espiras por unidade de comprimento como
- Suponha que a corrente em cada espira seja
(em ampères). Dentro do solenoide, o campo é praticamente uniforme e paralelo ao eixo do solenoide (essa é a idealização do “solenoide longo”). Fora do solenoide o campo é muito pequeno (aproximadamente zero) nesse ideal. - Escolha um laço amperiano retangular: um lado comprido de comprimento
paralelo ao eixo, dentro do solenoide, e o lado oposto fora (onde assumimos ). Aplicando a Lei de Ampère:
- A corrente envolvida
é a soma das correntes das espiras interceptadas pelo laço. Se há espiras no comprimento , então
- Substituindo:
Essa é a fórmula básica para o módulo do campo magnético no interior de um solenoide longo em vácuo.
Passo 4
Incluindo núcleo magnético (materiais ferroso, etc.)
- Se a bobina envolve um núcleo de material magnético com permeabilidade relativa
, a permeabilidade efetiva é . Nesse caso o campo dentro do núcleo (aproximação linear) fica:
Passo 5
Identificação e unidades de cada grandeza nas fórmulas anteriores
-
(ou ): campo magnético (densidade de fluxo magnético), unidade (tesla). -
: permeabilidade do vácuo, constante igual a (henry por metro). -
: permeabilidade relativa do material do núcleo (adimensional). Para vácuo ou ar, . Para ferro e outros materiais magnéticos . -
: número de espiras por unidade de comprimento, (unidade: ). -
: número total de espiras da bobina (adimensional). -
: comprimento da bobina (metro, ). -
: corrente elétrica que percorre as espiras (ampère, ).
Passo 6
Observações práticas e quando usar cada fórmula
- A fórmula
(ou ) é válida como boa aproximação para um solenoide “longo”, isto é, quando o comprimento é muito maior que o raio da bobina. Nesses casos o campo no interior é praticamente uniforme e paralelo ao eixo; o campo fora é desprezível. - Para bobinas curtas ou pontos ao longo do eixo de uma bobina finita, a expressão exata requer a lei de Biot–Savart e resulta numa fórmula mais complicada para o campo sobre o eixo — aí entra a expressão de campo axial de um solenoide finito (ver passo seguinte).
- A direção do vetor
segue a regra da mão direita: se os dedos enrolam na direção da corrente nas espiras, o polegar aponta na direção de (e do eixo do solenoide).
Passo 7
Fórmula mais geral — campo ao longo do eixo de um solenoide finito (apenas para consulta)
- Para um solenoide de raio
, comprimento , densidade de espiras , a componente axial do campo em um ponto (eixo do solenoide, centro em ) é dada por (resultado da integração da lei de Biot–Savart):
- Nessa fórmula,
é a distância ao centro do solenoide medida ao longo do eixo (unidade: ), e os outros símbolos já foram identificados. Para e pontos bem no interior essa expressão tende para .
Passo 8
Exemplo numérico rápido (para você ter uma noção)
- Se tiver uma bobina com
espiras ao longo de (logo ) e corrente em ar ( ), então
- Isso dá uma ideia prática do valor que se obtém com um solenoide simples.