Planejamento para o experimento de campo magnético
  1. Escreva a equação matemática do campo magnético de uma bobina (solenoide)? Não esqueça de identificar cada grandeza da equação.

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva a equação matemática do campo magnético de uma bobina (solenoide) e que eu identifique cada grandeza da equação.
Informações dadas no enunciado: apenas o pedido da equação (não há números específicos nem figura).

Passo 2

Antes de escrever a fórmula, vamos entender o que é o campo magnético que queremos descrever.
  • O campo magnético costuma ser representado por \mathbf{B} (ou apenas B quando interessa apenas o módulo).
  • A unidade de \mathbf{B} no SI é o tesla, escrito \mathrm{T}.
  • Para uma bobina longa (solenoide) com correntes estacionárias, a maneira mais simples e direta de obter o campo no interior é usar a Lei de Ampère (versão integral), que diz:
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell}=\mu_0 I_{\text{enc}},
onde \mu_0 é a permeabilidade do vácuo e I_{\text{enc}} é a corrente elétrica total atravessando a superfície limitada pelo caminho fechado da integral. Vou explicar cada termo quando aplicar a lei.

Passo 3

Derivação passo a passo para o solenoide longo (caso idealizado)
  • Considere uma bobina longa, de comprimento L, com N espiras uniformemente distribuídas ao longo de L. Definimos a densidade de espiras por unidade de comprimento como
n=\frac{N}{L}\quad(\text{espiras por metro}).
  • Suponha que a corrente em cada espira seja I (em ampères). Dentro do solenoide, o campo é praticamente uniforme e paralelo ao eixo do solenoide (essa é a idealização do “solenoide longo”). Fora do solenoide o campo é muito pequeno (aproximadamente zero) nesse ideal.
  • Escolha um laço amperiano retangular: um lado comprido de comprimento \ell paralelo ao eixo, dentro do solenoide, e o lado oposto fora (onde assumimos B\approx0). Aplicando a Lei de Ampère:
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell}=B\,\ell = \mu_0 I_{\text{enc}}.
  • A corrente envolvida I_{\text{enc}} é a soma das correntes das espiras interceptadas pelo laço. Se há n\ell espiras no comprimento \ell, então
I_{\text{enc}} = (n\ell)\,I.
  • Substituindo:
B\,\ell = \mu_0 (n\ell) I \quad\Rightarrow\quad B=\mu_0 n I.
Essa é a fórmula básica para o módulo do campo magnético no interior de um solenoide longo em vácuo.

Passo 4

Incluindo núcleo magnético (materiais ferroso, etc.)
  • Se a bobina envolve um núcleo de material magnético com permeabilidade relativa \mu_r, a permeabilidade efetiva é \mu=\mu_0\mu_r. Nesse caso o campo dentro do núcleo (aproximação linear) fica:
B=\mu_0\mu_r\, n I.

Passo 5

Identificação e unidades de cada grandeza nas fórmulas anteriores
  • \mathbf{B} (ou B): campo magnético (densidade de fluxo magnético), unidade \mathrm{T} (tesla).
  • \mu_0: permeabilidade do vácuo, constante igual a \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m} (henry por metro).
  • \mu_r: permeabilidade relativa do material do núcleo (adimensional). Para vácuo ou ar, \mu_r\approx1. Para ferro e outros materiais magnéticos \mu_r\gg1.
  • n: número de espiras por unidade de comprimento, \;n=\dfrac{N}{L}\; (unidade: \mathrm{m^{-1}}).
  • N: número total de espiras da bobina (adimensional).
  • L: comprimento da bobina (metro, \mathrm{m}).
  • I: corrente elétrica que percorre as espiras (ampère, \mathrm{A}).

Passo 6

Observações práticas e quando usar cada fórmula
  • A fórmula \,B=\mu_0 n I (ou \,B=\mu_0\mu_r n I) é válida como boa aproximação para um solenoide “longo”, isto é, quando o comprimento L é muito maior que o raio da bobina. Nesses casos o campo no interior é praticamente uniforme e paralelo ao eixo; o campo fora é desprezível.
  • Para bobinas curtas ou pontos ao longo do eixo de uma bobina finita, a expressão exata requer a lei de Biot–Savart e resulta numa fórmula mais complicada para o campo sobre o eixo — aí entra a expressão de campo axial de um solenoide finito (ver passo seguinte).
  • A direção do vetor \mathbf{B} segue a regra da mão direita: se os dedos enrolam na direção da corrente nas espiras, o polegar aponta na direção de \mathbf{B} (e do eixo do solenoide).

Passo 7

Fórmula mais geral — campo ao longo do eixo de um solenoide finito (apenas para consulta)
  • Para um solenoide de raio a, comprimento L, densidade de espiras n=N/L, a componente axial do campo em um ponto z (eixo do solenoide, centro em z=0) é dada por (resultado da integração da lei de Biot–Savart):
B(z)=\frac{\mu_0 n I}{2}\left(\frac{z+L/2}{\sqrt{a^2+(z+L/2)^2}}-\frac{z-L/2}{\sqrt{a^2+(z-L/2)^2}}\right).
  • Nessa fórmula, \,z é a distância ao centro do solenoide medida ao longo do eixo (unidade: \mathrm{m}), e os outros símbolos já foram identificados. Para L\to\infty e pontos bem no interior essa expressão tende para \mu_0 n I.

Passo 8

Exemplo numérico rápido (para você ter uma noção)
  • Se tiver uma bobina com N=1000 espiras ao longo de L=0,5\\ \mathrm{m} (logo n=2000\\ \mathrm{m^{-1}}) e corrente I=1\\ \mathrm{A} em ar ( \mu_r\approx1), então
B\approx \mu_0 n I = (4\pi\times10^{-7})\cdot 2000\cdot 1 \approx 2{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{T}=2{,}5\\ \mathrm{mT}.
  • Isso dá uma ideia prática do valor que se obtém com um solenoide simples.

Resposta

B=\mu_0\, n\, I
B=\mu_0\mu_r\, n\, I
B(z)=\frac{\mu_0 n I}{2}\left(\frac{z+L/2}{\sqrt{a^2+(z+L/2)^2}}-\frac{z-L/2}{\sqrt{a^2+(z-L/2)^2}}\right)

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