Planejamento para o experimento de campo magnético
  1. Escreva a equação matemática do campo magnético sobre o eixo × (eixo que passa pelo centro e é perpendicular ao plano da espira) de uma espira? Não esqueça de identificar cada grandeza da equação.

Passo 1

O enunciado pede explicitamente: escrever a equação matemática do campo magnético sobre o eixo x (o eixo que passa pelo centro e é perpendicular ao plano da espira) causada por uma espira circular. Além disso é pedido identificar cada grandeza da equação.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • Há uma espira circular de raio R com corrente elétrica I.
  • O eixo x é o eixo que passa pelo centro da espira e é perpendicular ao plano da espira.
  • Quer-se o campo magnético no ponto do eixo localizado a uma distância x do centro da espira (podendo ser x=0 no centro).

Passo 2

Apresentação da lei que vamos usar (a regra básica).
A lei que dá o campo magnético produzido por um elemento de corrente é a lei de Biot–Savart:
d\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,d\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r}}{r^{3}},
onde:
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo;
  • I é a corrente na espira;
  • d\boldsymbol{\ell} é um elemento vetorial de comprimento da espira (direção da corrente);
  • \mathbf{r} é o vetor que vai do elemento d\boldsymbol{\ell} até o ponto onde se calcula o campo;
  • r=\lVert\mathbf{r}\rVert é o módulo desse vetor.
Vou explicar rápido o que cada termo faz: o produto vetorial d\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r} dá a direção e magnitude (proporcional a \sin do ângulo entre d\boldsymbol{\ell} e \mathbf{r}) da contribuição magnética do elemento; dividimos por r^3 porque no Biot–Savart há uma queda com a distância e há um fator geométrico; e o prefactor \mu_0/(4\pi) é constante física.

Passo 3

Escolha de coordenadas e geometria do problema.
  • Coloco o centro da espira na origem e o eixo da espira coincidente com o eixo x.
  • A espira está então contida no plano yz e tem raio R.
  • Um ponto P sobre o eixo tem coordenada (x,0,0) (distância x do centro).
  • Um elemento da espira, parametrizado pelo ângulo \varphi, está na posição
\mathbf{r}'=(0,R\cos\varphi,R\sin\varphi),
e o elemento de comprimento é
d\boldsymbol{\ell}=(0,-R\sin\varphi,R\cos\varphi)\,d\varphi.
  • O vetor que vai do elemento até o ponto P é
\mathbf{r}=\mathbf{r}_P-\mathbf{r}'=(x,-R\cos\varphi,-R\sin\varphi).
O módulo desse vetor é o mesmo para todo \varphi:
r=\sqrt{R^{2}+x^{2}}.

Passo 4

Cálculo do produto vetorial d\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r} e identificação da componente ao longo do eixo x.
Calculo o produto vetorial (determinante):
d\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r} =R\,d\varphi\, \begin{vmatrix} \hat{\imath}&\hat{\jmath}&\hat{k}\\[2pt] 0 & -\sin\varphi & \cos\varphi\\[2pt] x & -\cos\varphi & -\sin\varphi \end{vmatrix}.
Expandindo o determinante obtemos
d\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r} =R\,d\varphi\big( R\,\hat{\imath} + x\cos\varphi\,\hat{\jmath} + x\sin\varphi\,\hat{k}\big).
A componente ao longo do eixo x (ou seja, na direção \hat{\imath} que aqui é \hat{x}) é, portanto,
\big(d\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r}\big)_{x}=R^{2}\,d\varphi.
As componentes nas direções \hat{\jmath} e \hat{k} contêm \cos\varphi e \sin\varphi e, ao integrar \varphi de 0 a 2\pi, essas componentes se cancelam (integral de \cos\varphi e \sin\varphi em um período é zero). Logo só resta a componente axial.]

Passo 5

Aplicação do Biot–Savart para obter a componente axial do campo e integrar.
Substituo na lei de Biot–Savart a componente axial usando que r é constante ao longo da espira:
dB_x=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,(d\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r})_{x}}{r^{3}} = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,R^{2}\,d\varphi}{\big(R^{2}+x^{2}\big)^{3/2}}.
Integro \varphi de 0 a 2\pi:
B_x=\int_{0}^{2\pi} dB_x = \frac{\mu_0 I R^{2}}{4\pi\big(R^{2}+x^{2}\big)^{3/2}}\int_{0}^{2\pi} d\varphi = \frac{\mu_0 I R^{2}}{4\pi\big(R^{2}+x^{2}\big)^{3/2}}\cdot 2\pi.
Simplificando:
B_x=\frac{\mu_0 I R^{2}}{2\big(R^{2}+x^{2}\big)^{3/2}}.

Passo 6

Escrita final em forma vetorial, interpretação física e caso especial.
Em forma vetorial, com direção \hat{x} (para convenção de sinal: sentido positivo de \hat{x} depende da orientação do eixo e do sentido da corrente — a regra da mão direita dá a direção do campo), o campo sobre o eixo é
\mathbf{B}(x)=\frac{\mu_0 I R^{2}}{2\big(R^{2}+x^{2}\big)^{3/2}}\,\hat{x}.
Caso especial: no centro da espira ( x=0) obtém-se
\mathbf{B}(0)=\frac{\mu_0 I}{2R}\,\hat{x}.
Unidades: \mathbf{B} em tesla ( \mathrm{T}), \mu_0 em \mathrm{T\cdot m/A}, I em ampère ( \mathrm{A}), R e x em metro ( \mathrm{m}).

Resposta

\mathbf{B}(x)=\frac{\mu_0 I R^{2}}{2\big(R^{2}+x^{2}\big)^{3/2}}\,\hat{x}
\mu_0 = permeabilidade do vácuo ( \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}).
I = corrente na espira (em \mathrm{A}).
R = raio da espira (em \mathrm{m}).
x = distância ao centro ao longo do eixo \hat{x} (em \mathrm{m}).
\mathbf{B}(x) = campo magnético no ponto sobre o eixo (em \mathrm{T}).

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