Planejamento para o experimento de campo magnético
Escreva a equação matemática do campo magnético sobre o eixo × (eixo que passa pelo centro e é perpendicular ao plano da espira) de uma espira? Não esqueça de identificar cada grandeza da equação.
Passo 1
O enunciado pede explicitamente: escrever a equação matemática do campo magnético sobre o eixo x (o eixo que passa pelo centro e é perpendicular ao plano da espira) causada por uma espira circular. Além disso é pedido identificar cada grandeza da equação.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
Há uma espira circular de raio R com corrente elétrica I.
O eixo x é o eixo que passa pelo centro da espira e é perpendicular ao plano da espira.
Quer-se o campo magnético no ponto do eixo localizado a uma distância x do centro da espira (podendo ser x=0 no centro).
Passo 2
Apresentação da lei que vamos usar (a regra básica).
A lei que dá o campo magnético produzido por um elemento de corrente é a lei de Biot–Savart:
d\boldsymbol{\ell} é um elemento vetorial de comprimento da espira (direção da corrente);
\mathbf{r} é o vetor que vai do elemento d\boldsymbol{\ell} até o ponto onde se calcula o campo;
r=\lVert\mathbf{r}\rVert é o módulo desse vetor.
Vou explicar rápido o que cada termo faz: o produto vetorial d\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r} dá a direção e magnitude (proporcional a \sin do ângulo entre d\boldsymbol{\ell} e \mathbf{r}) da contribuição magnética do elemento; dividimos por r^3 porque no Biot–Savart há uma queda com a distância e há um fator geométrico; e o prefactor \mu_0/(4\pi) é constante física.
Passo 3
Escolha de coordenadas e geometria do problema.
Coloco o centro da espira na origem e o eixo da espira coincidente com o eixo x.
A espira está então contida no plano yz e tem raio R.
Um ponto P sobre o eixo tem coordenada (x,0,0) (distância x do centro).
Um elemento da espira, parametrizado pelo ângulo \varphi, está na posição
Cálculo do produto vetorial d\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r} e identificação da componente ao longo do eixo x.
Calculo o produto vetorial (determinante):
As componentes nas direções \hat{\jmath} e \hat{k} contêm \cos\varphi e \sin\varphi e, ao integrar \varphi de 0 a 2\pi, essas componentes se cancelam (integral de \cos\varphi e \sin\varphi em um período é zero). Logo só resta a componente axial.]
Passo 5
Aplicação do Biot–Savart para obter a componente axial do campo e integrar.
Substituo na lei de Biot–Savart a componente axial usando que r é constante ao longo da espira:
B_x=\int_{0}^{2\pi} dB_x = \frac{\mu_0 I R^{2}}{4\pi\big(R^{2}+x^{2}\big)^{3/2}}\int_{0}^{2\pi} d\varphi = \frac{\mu_0 I R^{2}}{4\pi\big(R^{2}+x^{2}\big)^{3/2}}\cdot 2\pi.
Simplificando:
B_x=\frac{\mu_0 I R^{2}}{2\big(R^{2}+x^{2}\big)^{3/2}}.
Passo 6
Escrita final em forma vetorial, interpretação física e caso especial.
Em forma vetorial, com direção \hat{x} (para convenção de sinal: sentido positivo de \hat{x} depende da orientação do eixo e do sentido da corrente — a regra da mão direita dá a direção do campo), o campo sobre o eixo é
\mathbf{B}(x)=\frac{\mu_0 I R^{2}}{2\big(R^{2}+x^{2}\big)^{3/2}}\,\hat{x}.
Caso especial: no centro da espira (x=0) obtém-se
\mathbf{B}(0)=\frac{\mu_0 I}{2R}\,\hat{x}.
Unidades: \mathbf{B} em tesla (\mathrm{T}), \mu_0 em \mathrm{T\cdot m/A}, I em ampère (\mathrm{A}), R e x em metro (\mathrm{m}).
Resposta
\mathbf{B}(x)=\frac{\mu_0 I R^{2}}{2\big(R^{2}+x^{2}\big)^{3/2}}\,\hat{x}
\mu_0 = permeabilidade do vácuo (\mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}). I = corrente na espira (em \mathrm{A}). R = raio da espira (em \mathrm{m}). x = distância ao centro ao longo do eixo \hat{x} (em \mathrm{m}). \mathbf{B}(x) = campo magnético no ponto sobre o eixo (em \mathrm{T}).