16 - Um avião voa a 1,25 vez a velocidade do som. O estrondo sônico produzido pelo avião atinge um homem no solo 1,00 \mathrm{~min} depois de o avião ter passado exatamente por cima dele. Qual é a altitude do avião? Suponha que a velocidade do som é 330 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado dá:
    • A velocidade do avião é 1{,}25 vezes a velocidade do som;
    • A velocidade do som é c=330\\ \mathrm{m/s};
    • O estrondo sônico atinge o homem no solo 1{,}00\\ \text{min} depois de o avião ter passado exatamente por cima dele. Ou seja, o intervalo de tempo é t=1{,}00\\ \text{min}=60\\ \mathrm{s}.
  • O que o enunciado pede:
    • A altitude do avião (em metros).

Passo 2

Definir e calcular a velocidade do avião. Multiplica-se a velocidade do som por 1{,}25:
v = 1{,}25\cdot c = 1{,}25\cdot 330\\ \mathrm{m/s} = 412{,}5\\ \mathrm{m/s}.
Aqui v é a velocidade do avião em \mathrm{m/s}.

Passo 3

Explicar a ideia física/geométrica necessária (passo didático).
  • Um objeto supersônico gera um cone de ondas chamado cone de Mach. O semiengulo do cone em relação à direção de voo é \alpha.
  • A relação entre \alpha, a velocidade do som c e a velocidade do avião v é
\sin\alpha = \frac{c}{v}.
Nessa fórmula, \alpha é o ângulo entre a direção de voo (horizontal) e a superfície do cone; c e v já foram definidos acima.

Passo 4

Calcular \sin\alpha, \cos\alpha e \tan\alpha. Usando c=330\\ \mathrm{m/s} e v=412{,}5\\ \mathrm{m/s}:
\sin\alpha = \frac{c}{v} = \frac{330}{412{,}5} = 0{,}8.
Como \cos\alpha = \sqrt{1-\sin^2\alpha}, temos
\cos\alpha = \sqrt{1-0{,}8^2} = \sqrt{1-0{,}64} = \sqrt{0{,}36} = 0{,}6.
Portanto
\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{0{,}8}{0{,}6} = \frac{4}{3}\approx1{,}333\ldots

Passo 5

Relação geométrica entre tempo de atraso t, altitude h, velocidade v e \tan\alpha (explicação passo a passo).
  • Imagine o avião passando por cima do homem no solo no instante t=0. Depois, ao se afastar, o ápice do cone (o avião) fica a uma distância horizontal x=v t do ponto vertical sobre o homem.
  • A superfície do cone faz um ângulo \alpha com a horizontal; a interseção dessa superfície com o solo está a uma distância horizontal do avião igual a h/\tan\alpha (pois \tan\alpha = h/horizontal).
  • O estrondo atinge o homem exatamente quando a interseção do cone com o solo coincide com a posição do homem, ou seja, quando v t = h/\tan\alpha.
  • Dessa igualdade obtemos a relação
t = \frac{h}{v\,\tan\alpha}.

Passo 6

Isolar h na relação anterior para obter a altitude:
h = v\,t\,\tan\alpha.
Aqui t é o tempo de atraso (aqui 60\\ \mathrm{s}), v é a velocidade do avião e \tan\alpha foi calculado no Passo 4.

Passo 7

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo.
  • Primeiro calcule v\cdot t:
v\cdot t = 412{,}5\\ \mathrm{m/s}\times 60\\ \mathrm{s} = 24750\\ \mathrm{m}.
  • Multiplica agora por \tan\alpha = \dfrac{4}{3}:
h = 24750\cdot \frac{4}{3} = 24750\cdot 1{,}333\ldots = 33000\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Interpretação curta e incentivo (didática): o resultado indica h=33000\\ \mathrm{m}, ou seja 33\\ \mathrm{km}. Pode parecer alto para aviões comuns, mas o cálculo segue diretamente da geometria do cone de Mach e dos dados fornecidos. Você fez bem em pedir a resolução passo a passo — essa ideia geométrica é a chave para este tipo de problema.

Resposta

\,33000\\ \mathrm{m}

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