No planejamento de uma sala de radioterapia (Telecobaltoterapia), uma fonte de Co60 emite fótons de 1,25 \mathrm{MeV}. A intensidade deve ser reduzida de I_{0} para 0,01 \% I_{0} para proteger os técnicos na sala de controle. Se o coeficiente de atenuação linear do concreto denso é \mu=0,15 c m^{-1} para esta energia, calcule a espessura mínima da parede.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dado: a fonte emite fótons de 1,25\\ \mathrm{MeV}.
  • Dado: o coeficiente de atenuação linear do concreto denso é \mu = 0,15\\ \mathrm{cm}^{-1}.
  • Dado: a intensidade inicial é I_0 e queremos reduzir para 0,01\% de I_0.
  • Pedido: calcular a espessura mínima da parede (ou seja, a menor espessura x que garante essa atenuação).

Passo 2

Entendendo a lei de atenuação (a fórmula que vamos usar), explicada devagarinho:
  • Quando radiação atravessa um material homogêneo, a intensidade decresce exponencialmente segundo a relação
I = I_0 e^{-\mu x},
onde:
  • I é a intensidade após atravessar espessura x,
  • I_0 é a intensidade incidente,
  • \mu é o coeficiente de atenuação linear (unidade: \mathrm{cm}^{-1} aqui),
  • x é a espessura do material (unidade: \mathrm{cm} se \mu está em \mathrm{cm}^{-1}).
  • Intuição: \mu diz quão “forte” é a capacidade do material de atenuar por centímetro. Quanto maior \mu, menor precisa ser x.

Passo 3

Traduzindo o objetivo numérico para a fórmula:
  • Reduzir para 0,01\% significa que a razão I/I_0 deve ser
\frac{I}{I_0}=0,01\%=0,0001.
  • Substituindo na lei de atenuação:
0,0001 = e^{-\mu x}.
  • Resolver essa equação para x. Tomando logaritmo natural dos dois lados:
\ln(0,0001) = \ln\bigl(e^{-\mu x}\bigr) = -\mu x.
Logo,
x = -\frac{\ln(0,0001)}{\mu}.

Passo 4

Fazendo as contas passo a passo (sem pular etapas):
  • Note que 0,0001 = 10^{-4}, então
\ln(0,0001)=\ln(10^{-4})=-4\ln(10).
  • Usando \ln(10)\approx 2,302585093, obtemos
-\ln(0,0001)=4\ln(10)\approx 4\times 2,302585093 = 9,210340372.
  • Agora dividir por \mu = 0,15\\ \mathrm{cm}^{-1}:
x = \frac{9,210340372}{0,15}\\ \mathrm{cm} \approx 61,402268\\ \mathrm{cm}.
  • Arredondando de forma razoável para duas casas significativas após a vírgula de cm ou para uma casa em metros:
x \approx 61,4\\ \mathrm{cm} = 0,614\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Checagem conceitual alternativa (útil na prova e para intuir ordens de grandeza):
  • A camada que reduz a intensidade por um fator 10 chama-se TVL (tenth-value layer), dada por
\text{TVL}=\frac{\ln(10)}{\mu}.
  • Com \mu=0,15\\ \mathrm{cm}^{-1},
\text{TVL}=\frac{2,302585093}{0,15}\\ \mathrm{cm}\approx 15,3506\\ \mathrm{cm}.
  • Para reduzir por 10^{-4} é preciso 4 TVLs, ou seja 4\times 15,3506\\ \mathrm{cm}\approx 61,4\\ \mathrm{cm}, coincidindo com o cálculo anterior. Isso é um atalho prático para provas: quantos “TVLs” são necessários?

Passo 6

Comentário final prático e incentivo:
  • Resultado obtido: x\approx 61,4\\ \mathrm{cm}. Na prática de engenharia é comum aplicar uma margem de segurança (por exemplo, aumentar um pouco a espessura para levar em conta junções, portas, pequenas falhas no concreto etc.). Mas para o cálculo teórico pedido, essa é a espessura mínima calculada.
  • Vai dar certo — respira, você agora sabe tanto a conta exata quanto a forma rápida (TVL) que costuma cair em prova.

Resposta

\;x_{\min}=61,4\\ \mathrm{cm}=0,614\\ \mathrm{m}

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